Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

где x
0
=
p
}/(µω). Явный вид hm|x |ni получен в примере 3.8 части 2.
Из (2.5) и (2.14) видно, что E
(1)
n
= V
nn
= 0, т.е. в первом порядке ТВ
сдвиг уровней не наблюдается (линейный эффект Штарка отсутствует
из-за нечетности оператора
ˆ
V ), поэтому необходимо искать поправку
второго порядка. Подставляя (2.12) и (2.14) в (2.6), получаем
E
(2)
n
=
X
0
m
|V
nm
|
2
E
(0)
n
− E
(0)
m
=
=
e
2
E
2
x
2
0
2}ω
X
m6=n
(n − m)
−1
[
√
n δ
m,n−1
+
√
n + 1 δ
m,n+1
]
2
=
=
e
2
E
2
x
2
0
2}ω
X
m6=n
(n − m)
−1
[nδ
2
m,n−1
+
p
n(n + 1) δ
m,n−1
δ
m,n+1
+
(n + 1)δ
2
m,n+1
]. (2.15)
δ-символы в (2.15) снимают суммирование по m; при этом в первой сум-
ме остается слагаемое с m = n − 1, в третьей — слагаемое с m = n + 1;
вторая сумма целиком обращается в нуль, поскольку m не может одно-
временно принимать значения n−1 и n+1. Таким образом, независимо
от n
E
(2)
n
= −
e
2
E
2
2µω
2
,
т.е. эффект Штарка будет квадратичным, а уровни окажутся одинако-
во сдвинутыми вниз. Теория возмущений позволила вычислить коэф-
фициент перед E
2
, связанный с поляризуемостью α
0
:
∆E = E
(2)
n
= −
1
2
α
0
E
2
. (2.16)
В случае линейного гармонического осциллятора α
0
=
e
2
µω
2
.
Аналогичным образом можно вычислить и поправку первого поряд-
ка к волновым функциям:
Ψ
(1)
n
=
X
0
m
V
mn
E
(0)
n
− E
(0)
m
=
= −
eEx
0
}ω
√
2
X
m6=n
(n − m)
−1
[
√
n δ
m,n−1
+
√
n + 1 δ
m,n+1
] =
=
eEx
0
}ω
√
2
[
√
n + 1 Ψ
(0)
n+1
−
√
n Ψ
(0)
n−1
].
21
         �
где x0 = �/(µω). Явный вид �m| x |n� получен в примере 3.8 части 2.
                                 (1)
   Из (2.5) и (2.14) видно, что En = Vnn = 0, т.е. в первом порядке ТВ
сдвиг уровней не наблюдается (линейный эффект Штарка отсутствует
из-за нечетности оператора V̂ ), поэтому необходимо искать поправку
второго порядка. Подставляя (2.12) и (2.14) в (2.6), получаем

              ��     |Vnm |2
  En(2)   =         (0)     (0)
                                =
            m    E  n   − E m

             e2 E 2 x20 �             √          √
          =                (n − m)−1 [ n δm,n−1 + n + 1 δm,n+1 ]2 =
              2�ω
                       m�=n

          e2 E 2 x20 �                     �
      =                (n − m)−1 [nδm,n−1
                                    2
                                          + n(n + 1) δm,n−1 δm,n+1 +
           2�ω
                    m�=n

                                                         (n + 1)δm,n+1
                                                                 2
                                                                       ].   (2.15)

δ-символы в (2.15) снимают суммирование по m; при этом в первой сум-
ме остается слагаемое с m = n − 1, в третьей — слагаемое с m = n + 1;
вторая сумма целиком обращается в нуль, поскольку m не может одно-
временно принимать значения n −1 и n +1. Таким образом, независимо
от n
                                     e2 E 2
                           En = −
                             (2)
                                            ,
                                     2µω 2
т.е. эффект Штарка будет квадратичным, а уровни окажутся одинако-
во сдвинутыми вниз. Теория возмущений позволила вычислить коэф-
фициент перед E 2 , связанный с поляризуемостью α0 :
                                             1
                               ΔE = En(2) = − α0 E 2 .                      (2.16)
                                             2
                                                    e2
В случае линейного гармонического осциллятора α0 =      .
                                                   µω 2
   Аналогичным образом можно вычислить и поправку первого поряд-
ка к волновым функциям:

              ��      Vmn
  Ψ(1)
   n =              (0)     (0)
                                =
               m  E n   − E m
                 eEx0    �              √          √
              =− √           (n − m)−1 [ n δm,n−1 + n + 1 δm,n+1 ] =
                 �ω 2 m�=n
                                              eEx0 √             √
                                         =      √ [ n + 1 Ψ(0)
                                                           n+1 −
                                                                      (0)
                                                                   n Ψn−1 ].
                                              �ω 2


                                         21

Страницы