Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Учитывая, что
4|V
12
|
2
+ [δ ± (∆ + V
22
− V
11
)]
2
= 4|V
12
|
2
+ δ
2
± 2δ(∆ + V
22
− V
11
)+
+ (∆ + V
22
− V
12
)
2
= 4|V
12
|
2
+ (∆ + V
22
− V
12
)
2
| {z }
δ
2
+
+ δ
2
± 2δ(∆ + V
22
− V
11
) = 2δ[δ ± (∆ + V
22
− V
11
)],
имеем:
c
2±
=
δ ± (∆ + V
22
− V
11
)
2δ
1
/
2
.
Коэффициент c
1±
вычисляется из (2.43).
Проанализируем полученные результаты при различных предель-
ных соотношениях между диагональными и недиагональными матрич-
ными элементами оператора
ˆ
V . Рассмотрим следующие случаи.
а) Большие диагональные матричные элементы:
|V
11
|, |V
22
| |V
12
|; |V
12
| |∆ + V
22
− V
11
| ≡ ∆
12
. (2.44)
Раскладывая корни в (2.42) и выражении для δ по степеням V
12
/∆
12
(проделать самостоятельно!), получаем предельные выражения для
энергий стационарных состояний при наличии вырождения и правиль-
ные функции нулевого приближения:
E
+
≈ E
2
+ V
22
; E
−
≈ E
1
+ V
11
;
Ψ
+
≈ Ψ
2
; Ψ
−
≈ −
V
12
|V
12
|
Ψ
1
.
Функции Ψ
−
и Ψ
1
отличаются фазовым множителем и поэтому фи-
зически эквивалентны. В состоянии с энергией E
+
доминирует Ψ
2
, а с
энергией E
−
— Ψ
1
. Такие же результаты дает и теория возмущений для
невырожденных уровней в первом порядке. Действительно, (2.44) явля-
ется частным случаем условия применимости ТВ для невырожденных
уровней (2.9).
б) Большие недиагональные матричные элементы:
|V
12
| |V
11
|, |V
22
|; |V
12
| ∆
12
.
Раскладывая корни по степеням ∆
12
/V
12
, получаем:
E
±
=
1
2
(E
1
+ E
2
) ± |V
12
|; Ψ
±
=
1
√
2
Ψ
2
±
V
12
|V
12
|
Ψ
1
Можно видеть, что δ > ∆, т.е. сильно недиагональное возмущение при-
водит к “раздвиганию” близких уровней. |c
1±
|
2
= |c
2±
|
2
=
1
2
, поэтому
31
Учитывая, что

  4|V12 |2 + [δ ± (Δ + V22 − V11 )]2 = 4|V12 |2 + δ 2 ± 2δ(Δ + V22 − V11 )+
            + (Δ + V22 − V12 )2 = 4|V12 |2 + (Δ + V22 − V12 )2 +
                                  �            ��            �
                                                     δ2
                      + δ 2 ± 2δ(Δ + V22 − V11 ) = 2δ[δ ± (Δ + V22 − V11 )],

имеем:
                                 �                        � 1/2
                               δ ± (Δ + V22 − V11 )
                       c2±   =                                    .
                                       2δ
Коэффициент c1± вычисляется из (2.43).
   Проанализируем полученные результаты при различных предель-
ных соотношениях между диагональными и недиагональными матрич-
ными элементами оператора V̂ . Рассмотрим следующие случаи.
   а) Большие диагональные матричные элементы:

      |V11 |, |V22 | � |V12 |;       |V12 | � |Δ + V22 − V11 | ≡ Δ12 .   (2.44)
Раскладывая корни в (2.42) и выражении для δ по степеням V 12 /Δ12
(проделать самостоятельно!), получаем предельные выражения для
энергий стационарных состояний при наличии вырождения и правиль-
ные функции нулевого приближения:
              E+ ≈ E2 + V22 ;                      E− ≈ E1 + V11 ;
                                                          V12
              Ψ+ ≈ Ψ2 ;                           Ψ− ≈ −        Ψ1 .
                                                         |V12 |
Функции Ψ− и Ψ1 отличаются фазовым множителем и поэтому фи-
зически эквивалентны. В состоянии с энергией E+ доминирует Ψ2 , а с
энергией E− — Ψ1 . Такие же результаты дает и теория возмущений для
невырожденных уровней в первом порядке. Действительно, (2.44) явля-
ется частным случаем условия применимости ТВ для невырожденных
уровней (2.9).
   б) Большие недиагональные матричные элементы:

                     |V12 | � |V11 |, |V22 |;    |V12 | � Δ12 .
Раскладывая корни по степеням Δ12 /V12 , получаем:
                                              �                �
            1                              1          V12
      E± = (E1 + E2 ) ± |V12 |;   Ψ± = √        Ψ2 ±        Ψ1
            2                               2        |V12 |
Можно видеть, что δ > Δ, т.е. сильно недиагональное возмущение при-
водит к “раздвиганию” близких уровней. |c1± |2 = |c2± |2 = 12 , поэтому


                                          31

Страницы