Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

“невозмущенные” состояния вносят одинаковый вклад в формирование
“возмущенных” уровней.
Из анализа предельных случаев можно сделать вывод о том, что
теорией возмущения для близких уровней нужно пользоваться в том
случае, если в матрице оператора возмущения недиагональные элемен-
ты доминируют над диагональными и по величине существенно превы-
шают межуровневые расстояния.
Пример 2.6. Эффект Штарка в атоме водорода. Определить
расщепление первого возбужденного энергетического уровня водородо-
подобного иона в однородном электрическом поле напряженности E.
Заряд ядра Z, масса электрона — µ
e
.
Решение.
1 способ.
Уровень водородоподобного иона с главным квантовым числом n
вырожден с кратностью n
2
. Поэтому первому возбужденному уровню
(n = 2) соответствуют 4 состояния:
Ψ
200
(r) = R
20
(r)Y
0 0
(θ, ϕ) ≡ Ψ
1
(r);
Ψ
210
(r) = R
21
(r)Y
1 0
(θ, ϕ) ≡ Ψ
2
(r);
Ψ
211
(r) = R
21
(r)Y
1 1
(θ, ϕ) ≡ Ψ
3
(r);
Ψ
21−1
(r) = R
21
(r)Y
1 −1
(θ, ϕ) ≡ Ψ
4
(r).
(2.45)
Первое является 2s-состоянием, остальные — 2p.
Взаимодействие электрона с внешним однородным электрическим
полем будем рассматривать в качестве возмущения:
ˆ
V = −eEz (2.46)
(ось Oz направлена вдоль E; предполагается e < 0).
Пользуясь результатами примера 3.10 ч.2, вычисляем матричные
элементы оператора (2.46) с функциями (2.45) и получаем секулярное
уравнение:
E
(0)
2
− E −3a
0
eE/Z 0 0
−3a
0
eE/Z E
(0)
2
− E 0 0
0 0 E
(0)
2
− E 0
0 0 0 E
(0)
2
− E
= 0, (2.47)
где E
(0)
2
= −
1
8
Z
2
E
a
— энергия первого возбужденного состояния в от-
сутствие возмущения. Раскрывая в (2.47) определитель, получаем урав-
32
“невозмущенные” состояния вносят одинаковый вклад в формирование
“возмущенных” уровней.
   Из анализа предельных случаев можно сделать вывод о том, что
теорией возмущения для близких уровней нужно пользоваться в том
случае, если в матрице оператора возмущения недиагональные элемен-
ты доминируют над диагональными и по величине существенно превы-
шают межуровневые расстояния.                                   �

Пример 2.6. Эффект Штарка в атоме водорода. Определить
расщепление первого возбужденного энергетического уровня водородо-
подобного иона в однородном электрическом поле напряженности E.
Заряд ядра Z, масса электрона — µe .
Решение.
   1 способ.
   Уровень водородоподобного иона с главным квантовым числом n
вырожден с кратностью n2 . Поэтому первому возбужденному уровню
(n = 2) соответствуют 4 состояния:

                Ψ200 (r) = R20 (r)Y0 0 (θ, ϕ) ≡ Ψ1 (r);
                Ψ210 (r) = R21 (r)Y1 0 (θ, ϕ) ≡ Ψ2 (r);
                                                              (2.45)
                Ψ211 (r) = R21 (r)Y1 1 (θ, ϕ) ≡ Ψ3 (r);
                Ψ21−1 (r) = R21 (r)Y1 −1 (θ, ϕ) ≡ Ψ4 (r).

Первое является 2s-состоянием, остальные — 2p.
   Взаимодействие электрона с внешним однородным электрическим
полем будем рассматривать в качестве возмущения:

                               V̂ = −eEz                      (2.46)

(ось Oz направлена вдоль E; предполагается e < 0).
   Пользуясь результатами примера 3.10 ч.2, вычисляем матричные
элементы оператора (2.46) с функциями (2.45) и получаем секулярное
уравнение:
        � (0)                                     �
        � E − E −3a eE/Z           0         0    �
        � 2             0                         �
        �             (0)                         �
        �−3a0 eE/Z E2 − E
        �                          0         0    �
                                                  � = 0,
        �                       (0)               �          (2.47)
        �    0           0     E2 − E        0    �
        �                                         �
        �    0           0         0     E2 − E �
                                          (0)


     (0)     1
где E2  = − Z 2 Ea — энергия первого возбужденного состояния в от-
             8
сутствие возмущения. Раскрывая в (2.47) определитель, получаем урав-


                                   32

Страницы