Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

адиабатический способ включения взаимодействия), то полная вероят-
ность перехода (4.1) есть
W
fi
= |A
fi
|
2
=
1
}
2
Z
+∞
−∞
hf|
ˆ
V (r, t) |iie
iω
f i
t
dt
2
. (4.2)
Предлагаем самостоятельно убедиться в безразмерном характере вели-
чины W
fi
. Таким образом, для вычисления вероятности перехода необ-
ходимо знать энергетическое представление оператора возмущения по
базису невозмущенной задачи.
Пример 4.1. Линейный гармонический осциллятор с массой µ, ча-
стотой ω и зарядом e при t → −∞ находился в n-м возбужденном
состоянии. Данный осциллятор подвергается воздействию внешнего
однородного электрического поля, изменяющегося во времени по зако-
ну E(t) = E
0
e
−t/|τ|
(τ = const), и направленному вдоль оси Ox. Найти
в первом порядке теории возмущений вероятности обнаружения ос-
циллятора в различных стационарных состояниях при t → +∞.
Решение. Вероятность возбуждения различных стационарных состоя-
ний определяется формулой (4.2). Оператор возмущения имеет следу-
ющий вид:
ˆ
V (x, t) = −exE
0
e
−t/|τ|
,
и его матричные элементы пропорциональны матричным элементам
оператора координаты в базисе осциллятора. Согласно примеру 2.4 ч.II,
hm|x |ni =
s
}
2µω
√
n + 1, m = n + 1;
√
n, m = n − 1;
0, m 6= n ± 1.
В нашем случае |ii ≡ |ni, |fi ≡ | mi. Частота перехода
ω
fi
= ω
mn
=
1
}
}ω
m +
1
2
− }ω
n +
1
2

= ω(m − n).
Для вероятности возбуждения имеем:
W
fi
= W
mn
=
e
2
E
2
0
}
2
|x
mn
|
2
Z
+∞
−∞
e
−
|t|
τ
+iω
mn
t
dt
2
=
=
2e
2
E
2
0
µ}ω
·
τ
2
(ω
2
τ
2
+ 1)
2
n + 1, m = n + 1;
n, m = n − 1;
0, m 6= n ± 1.
42
адиабатический способ включения взаимодействия), то полная вероят-
ность перехода (4.1) есть
                                  ��                                 �2
                               1 �� +∞                      iωf i t �
                                                                     �
            Wf i   = |Af i | = 2 �
                           2
                                       �f | V̂ (r, t) |i� e        dt� .      (4.2)
                              �     −∞

Предлагаем самостоятельно убедиться в безразмерном характере вели-
чины Wf i . Таким образом, для вычисления вероятности перехода необ-
ходимо знать энергетическое представление оператора возмущения по
базису невозмущенной задачи.
Пример 4.1. Линейный гармонический осциллятор с массой µ, ча-
стотой ω и зарядом e при t → −∞ находился в n-м возбужденном
состоянии. Данный осциллятор подвергается воздействию внешнего
однородного электрического поля, изменяющегося во времени по зако-
ну E(t) = E0 e−t/|τ | (τ = const), и направленному вдоль оси Ox. Найти
в первом порядке теории возмущений вероятности обнаружения ос-
циллятора в различных стационарных состояниях при t → +∞.
Решение. Вероятность возбуждения различных стационарных состоя-
ний определяется формулой (4.2). Оператор возмущения имеет следу-
ющий вид:
                      V̂ (x, t) = −exE0 e−t/|τ | ,
и его матричные элементы пропорциональны матричным элементам
оператора координаты в базисе осциллятора. Согласно примеру 2.4 ч.II,
                                √
                          �     
                                 n + 1, m = n + 1;
                             � √
              �m| x |n� =           n,     m = n − 1;
                            2µω 
                                
                                0,        m �= n ± 1.

В нашем случае |i� ≡ |n�, |f � ≡ |m�. Частота перехода
                     � �            �     �       ��
                   1              1             1
     ωf i = ωmn =      �ω m +         − �ω n +       = ω(m − n).
                   �              2             2
Для вероятности возбуждения имеем:
                          �� +∞                  �2
                e2 E02    �
                         2�
                                     |t|
                                    − τ +iωmn t �
                                                 �
  Wf i = Wmn   = 2 |xmn | �       e            dt� =
                 �           −∞
                                                   
                                                   
                            2e E0
                              2 2
                                          τ 2      n + 1,
                                                                     m = n + 1;
                         =         ·                 n,               m = n − 1;
                             µ�ω (ω 2 τ 2 + 1)2   
                                                   0,                m �= n ± 1.

                                         42

Страницы