Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
Решение. Запишем вначале все векторные операторы в декартовом ба-
зисе:
[V (r),
ˆ
p] = [V (r),
X
k
e
k
ˆp
k
]
(2.8)
=
X
k
e
k
[V (r), ˆp
k
]
(2.19)
= i}
X
k
e
k
∂V
∂x
k
.
Вспоминая вид градиента в декартовом базисе, получаем:
[V (r),
ˆ
p] = i} grad V (r). (2.20)
Очевидно, соотношение (2.19) есть частный случай (2.20).
Пример 2.12. Вычислить коммутаторы [r,
ˆ
H], [
ˆ
p,
ˆ
H], предполагая
известными вид потенциальной энергии V (r) и массу частицы m.
Решение. Основываясь на данных таблицы 2.1 и результате примера
2..9, имеем:
[r,
ˆ
H] = [r,
ˆ
p
2
2m
+ V (r)]
(2.8)
=
1
2m
[r,
ˆ
p
2
] + [r, V (r)]
| {z }
0
=
i}
m
ˆ
p.
Второй коммутатор вычислим из соотношения (2.20):
[
ˆ
p,
ˆ
H]
(2.4)
= −[
ˆ
H,
ˆ
p] = −[
ˆ
p
2
2m
+ V (r),
ˆ
p]
(2.8)
= −
1
2m
[
ˆ
p
2
,
ˆ
p]
| {z }
0
−[V (r),
ˆ
p]
(2.20)
=
= −i} grad V (r).
Объясните, почему [r, V (r)] = 0, [
ˆ
p
2
,
ˆ
p] = 0.
Выпишем теперь результаты:
[r,
ˆ
H] =
i}
m
ˆ
p ; (2.21)
[
ˆ
p,
ˆ
H] = −i} grad V (r). (2.22)
Данные тождества используются при выводе некоторых фундамен-
тальных соотношений квантовой теории.
Рассмотрим теперь оператор орбитального момента
ˆ
L, или момен-
та количества движения. Его декартовы компоненты выражаются че-
рез координату и проекцию импульса с помощью следующего соотно-
шения:
ˆ
L
k
=
X
l,m
ε
klm
x
l
ˆp
m
. (2.23)
                                         23


Решение. Запишем вначале все векторные операторы в декартовом ба-
зисе:
                         X         (2.8) X                 (2.19) X ∂V
   [V (r), p̂] = [V (r),   ek p̂k ] =      ek [V (r), p̂k ] = i}   ek     .
                                                                      ∂xk
                         k                  k                        k

Вспоминая вид градиента в декартовом базисе, получаем:
                             [V (r), p̂] = i} grad V (r).                    (2.20)

Очевидно, соотношение (2.19) есть частный случай (2.20).                            

Пример 2.12. Вычислить коммутаторы [r, Ĥ], [p̂, Ĥ], предполагая
известными вид потенциальной энергии V (r) и массу частицы m.
Решение. Основываясь на данных таблицы 2.1 и результате примера
2..9, имеем:
                      p̂2         (2.8) 1                          i}
        [r, Ĥ] = [r,     + V (r)] =      [r, p̂2 ] + [r, V (r)] =    p̂.
                      2m               2m             | {z } m
                                                            0

Второй коммутатор вычислим из соотношения (2.20):

         (2.4)              p̂2             (2.8)  1                        (2.20)
  [p̂, Ĥ] = −[Ĥ, p̂] = −[     + V (r), p̂] = −     [p̂2 , p̂] −[V (r), p̂] =
                            2m                    2m | {z }
                                                            0
                                                                = −i} grad V (r).
Объясните, почему [r, V (r)] = 0, [p̂2 , p̂] = 0.
  Выпишем теперь результаты:
                                                i}
                                  [r, Ĥ] =        p̂ ;                      (2.21)
                                                m

                             [p̂, Ĥ] = −i} grad V (r).                      (2.22)
Данные тождества используются при выводе некоторых фундамен-
тальных соотношений квантовой теории.                     
   Рассмотрим теперь оператор орбитального момента L̂, или момен-
та количества движения. Его декартовы компоненты выражаются че-
рез координату и проекцию импульса с помощью следующего соотно-
шения:
                              X
                        L̂k =   εklm xl p̂m .               (2.23)
                                      l,m

Страницы