Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
ˆp
x
xΨ = ˆp
x
(xΨ) = −i}
∂
∂x
(xΨ) = −i}Ψ − i}x
∂Ψ
∂x
.
На основании 4
◦
и 5
◦
получаем:
[x, ˆp
x
]Ψ = xˆp
x
Ψ − ˆp
x
xΨ = i}Ψ. (2.16)
Поскольку равенство (2.16) должно выполняться для произвольной
функции Ψ, мы, согласно 1
◦
, приходим к операторному равенству
2
:
[x, ˆp
x
] = i}. (2.17)
Операторное тождество (2.17) является одним из основных соотноше-
ний квантовой теории.
Аналогичным образом можно показать, что
[x, ˆp
x
] = [y, ˆp
y
] = [z, ˆp
z
] = i},
т.е. операторы декартовой координаты и одноименной проекции им-
пульса не коммутируют. Пары этих операторов называют также ка-
нонически сопряженными.
Пример 2.8. Вычислить коммутаторы: 1) [x, ˆp
y
]; 2) [x, y]; 3) [ˆp
x
, ˆp
y
].
Решение.
1. Коммутатор [x, ˆp
y
] вычисляем по аналогии с предыдущим приме-
ром, однако, вследствие независимости переменных x и y,
ˆp
y
xΨ = −i}
∂
∂y
(xΨ) = x
−i}
∂
∂y
Ψ = xˆp
y
Ψ.
Таким образом, [x, ˆp
y
] = 0 (в смысле нулевого оператора).
Данное утверждение можно обобщить: разноименные декартовы ко-
ординаты и проекции импульсов коммутируют.
2. Оператор координаты является обычным числовым множителем.
Значение произведения чисел не зависит от порядка следования со-
множителей. Поэтому [x, y] = 0. Вообще, все декартовы координаты
коммутируют друг с другом.
3. Произведение ˆp
x
ˆp
y
, в соответствии с определением 6
◦
, с точ-
ностью до постоянного множителя является смешанной производ-
ной. Смешанные производные функций, удовлетворяющих стандарт-
ным условиям, не зависят от порядка дифференцирования. Поэтому
2
Строго говоря, в правой части (2.17) следовало бы, в соответствии с 1
◦
, поста-
вить i}
ˆ
1, но, как правило, единичный оператор здесь не указывается.
                                           21


                                           ∂                   ∂Ψ
             p̂x xΨ = p̂x (xΨ) = −i}         (xΨ) = −i}Ψ − i}x    .
                                          ∂x                   ∂x
На основании 4◦ и 5◦ получаем:

                        [x, p̂x ]Ψ = xp̂x Ψ − p̂x xΨ = i}Ψ.                    (2.16)

Поскольку равенство (2.16) должно выполняться для произвольной
функции Ψ, мы, согласно 1◦ , приходим к операторному равенству2 :

                                     [x, p̂x ] = i}.                           (2.17)

Операторное тождество (2.17) является одним из основных соотноше-
ний квантовой теории.
   Аналогичным образом можно показать, что

                          [x, p̂x ] = [y, p̂y ] = [z, p̂z ] = i},

т.е. операторы декартовой координаты и одноименной проекции им-
пульса не коммутируют. Пары этих операторов называют также ка-
нонически сопряженными.                                      

Пример 2.8. Вычислить коммутаторы: 1) [x, p̂y ]; 2) [x, y]; 3) [p̂x , p̂y ].
Решение.
   1. Коммутатор [x, p̂y ] вычисляем по аналогии с предыдущим приме-
ром, однако, вследствие независимости переменных x и y,
                                              
                            ∂               ∂
             p̂y xΨ = −i}      (xΨ) = x −i}      Ψ = xp̂y Ψ.
                            ∂y              ∂y
Таким образом, [x, p̂y ] = 0 (в смысле нулевого оператора).
   Данное утверждение можно обобщить: разноименные декартовы ко-
ординаты и проекции импульсов коммутируют.
   2. Оператор координаты является обычным числовым множителем.
Значение произведения чисел не зависит от порядка следования со-
множителей. Поэтому [x, y] = 0. Вообще, все декартовы координаты
коммутируют друг с другом.
   3. Произведение p̂x p̂y , в соответствии с определением 6◦ , с точ-
ностью до постоянного множителя является смешанной производ-
ной. Смешанные производные функций, удовлетворяющих стандарт-
ным условиям, не зависят от порядка дифференцирования. Поэтому
  2 Строго   говоря, в правой части (2.17) следовало бы, в соответствии с 1 ◦ , поста-
вить i}1̂, но, как правило, единичный оператор здесь не указывается.

Страницы