Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
1)
ˆ
F +
ˆ
0 =
ˆ
F ; 2)
ˆ
F −
ˆ
F =
ˆ
0 (доказать самостоятельно!).
Дальнейшие выкладки мы осуществляем без подробных коммента-
риев:
[
ˆ
A,
ˆ
B
ˆ
C]
(2.2)
=
ˆ
A
ˆ
B
ˆ
C −
ˆ
B
ˆ
C
ˆ
A =
ˆ
A
ˆ
B
ˆ
C +
ˆ
0 −
ˆ
B
ˆ
C
ˆ
A =
=
ˆ
A
ˆ
B
ˆ
C +
ˆ
B
ˆ
A
ˆ
C −
ˆ
B
ˆ
A
ˆ
C
| {z }
ˆ
0
−
ˆ
B
ˆ
C
ˆ
A
(2.1)
=
ˆ
A
ˆ
B
ˆ
C −
ˆ
B
ˆ
A
ˆ
C +
ˆ
B
ˆ
A
ˆ
C −
ˆ
B
ˆ
C
ˆ
A
(2.9)
=
= (
ˆ
A
ˆ
B −
ˆ
B
ˆ
A)
ˆ
C +
ˆ
B(
ˆ
A
ˆ
C −
ˆ
C
ˆ
A) = [
ˆ
A,
ˆ
B]
ˆ
C +
ˆ
B[
ˆ
A,
ˆ
C].
Выпишем окончательный ответ:
[
ˆ
A,
ˆ
B
ˆ
C] = [
ˆ
A,
ˆ
B]
ˆ
C +
ˆ
B[
ˆ
A,
ˆ
C]. (2.13)
Полученное тождество чрезвычайно удобно при “упрощении” коммута-
торов.
Задачи для самостоятельного решения
6. Доказать тождества:
[
ˆ
F ,
ˆ
G] = −[
ˆ
G,
ˆ
F ]; {
ˆ
F ,
ˆ
G} = {
ˆ
G,
ˆ
F }.
7. Доказать тождества (2.8).
8. Доказать тождество Якоби:
[
ˆ
A, [
ˆ
B,
ˆ
C]] + [
ˆ
C, [
ˆ
A,
ˆ
B]] + [
ˆ
B, [
ˆ
C,
ˆ
A]] =
ˆ
0. (2.14)
9
∗
. Разложить оператор (
ˆ
F − λ
ˆ
G)
−1
по степеням малого параметра λ.
(Ответ: (
ˆ
F − λ
ˆ
G)
−1
=
∞
X
n=0
(λ
ˆ
F
−1
ˆ
G)
n
.)
10
∗
. Доказать тождество Бекера–Кэмпбела–Хаусдорфа:
e
ˆ
F
ˆ
G e
−
ˆ
F
=
ˆ
G + [
ˆ
F ,
ˆ
G] +
1
2!
[
ˆ
F , [
ˆ
F ,
ˆ
G]] +
1
3!
[
ˆ
F , [
ˆ
F , [
ˆ
F ,
ˆ
G]]] + . . .
11
∗
. Для операторов, удовлетворяющих условиям [
ˆ
F , [
ˆ
F ,
ˆ
G]] = 0,
[
ˆ
G, [
ˆ
F ,
ˆ
G]] = 0, доказать тождество Вейля:
e
ˆ
F +
ˆ
G
= e
−
1
2
[
ˆ
F ,
ˆ
G]
e
ˆ
F
e
ˆ
G
.
                                              19


   1) F̂ + 0̂ = F̂ ; 2) F̂ − F̂ = 0̂ (доказать самостоятельно!).
   Дальнейшие выкладки мы осуществляем без подробных коммента-
риев:
            (2.2)
  [Â, B̂ Ĉ] = ÂB̂ Ĉ − B̂ Ĉ Â = ÂB̂ Ĉ + 0̂ − B̂ Ĉ Â =
                                           (2.1)                                               (2.9)
 = ÂB̂ Ĉ + B̂
             | ÂĈ {z
                    − B̂ ÂĈ} −B̂ Ĉ Â = ÂB̂ Ĉ − B̂ ÂĈ + B̂ ÂĈ − B̂ Ĉ Â =
                      0̂

                     = (ÂB̂ − B̂ Â)Ĉ + B̂(ÂĈ − Ĉ Â) = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ].
Выпишем окончательный ответ:

                           [Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ].                              (2.13)

Полученное тождество чрезвычайно удобно при “упрощении” коммута-
торов.                                                        


Задачи для самостоятельного решения

6. Доказать тождества:
                    [F̂ , Ĝ] = −[Ĝ, F̂ ];        {F̂ , Ĝ} = {Ĝ, F̂ }.

7. Доказать тождества (2.8).
8. Доказать тождество Якоби:
                    [Â, [B̂, Ĉ]] + [Ĉ, [Â, B̂]] + [B̂, [Ĉ, Â]] = 0̂.                     (2.14)

9∗ . Разложить оператор (F̂ − λĜ)−1 по степеням малого параметра λ.
                       X∞
                  −1
(Ответ: (F̂ − λĜ) =       (λF̂ −1 Ĝ)n .)
                              n=0

10∗ . Доказать тождество Бекера–Кэмпбела–Хаусдорфа:
                                       1                    1
      eF̂ Ĝ e−F̂ = Ĝ + [F̂ , Ĝ] +      [F̂ , [F̂ , Ĝ]] + [F̂ , [F̂ , [F̂ , Ĝ]]] + . . .
                                       2!                   3!

11∗ . Для операторов, удовлетворяющих условиям [F̂ , [F̂ , Ĝ]] = 0,
[Ĝ, [F̂ , Ĝ]] = 0, доказать тождество Вейля:
                                               1
                               eF̂ +Ĝ = e− 2 [F̂ ,Ĝ] eF̂ eĜ .

Страницы