Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
Решение. Преобразования осуществляем с использованием тождеств
(2.1), (2.9):
(
ˆ
F −
ˆ
G)(
ˆ
F +
ˆ
G) =
ˆ
F (
ˆ
F +
ˆ
G) −
ˆ
G(
ˆ
F +
ˆ
G) =
=
ˆ
F
2
−
ˆ
G
2
+
ˆ
F
ˆ
G −
ˆ
G
ˆ
F
| {z }
[
ˆ
F ,
ˆ
G]
=
ˆ
F
2
−
ˆ
G
2
+ [
ˆ
F ,
ˆ
G];
(
ˆ
F +
ˆ
G)
2
= (
ˆ
F +
ˆ
G)(
ˆ
F +
ˆ
G) =
ˆ
F (
ˆ
F +
ˆ
G) +
ˆ
G(
ˆ
F +
ˆ
G) =
=
ˆ
F
2
+
ˆ
G
2
+
ˆ
F
ˆ
G +
ˆ
G
ˆ
F
| {z }
{
ˆ
F ,
ˆ
G}
(2.10)
=
ˆ
F
2
+ 2
ˆ
F
ˆ
G +
ˆ
G
2
− [
ˆ
F ,
ˆ
G].
Мы намеренно представили результаты в форме, наиболее близкой к
соответствующим тождествам для обычных чисел. Отличие заключа-
ется в дополнительных слагаемых — коммутаторах. В случае обычных
чисел эти коммутаторы тождественно обращаются в нуль.
Пример 2.5. Выразить оператор (
ˆ
F
ˆ
G)
−1
через
ˆ
F
−1
и
ˆ
G
−1
.
Решение. Легко показать, что
ˆ
F
ˆ
1 =
ˆ
1
ˆ
F =
ˆ
F (сделайте самостоятельно!).
По определению обратного оператора 7
◦
,
(
ˆ
F
ˆ
G)(
ˆ
F
ˆ
G)
−1
=
ˆ
1. (2.11)
Преобразуем левую часть (2.11) в соответствии с “сочетательным зако-
ном” (2.6) и домножим обе части (2.11) слева сначала на
ˆ
F
−1
, а затем
на
ˆ
G
−1
. В результате получим тождество:
(
ˆ
F
ˆ
G)
−1
=
ˆ
G
−1
ˆ
F
−1
. (2.12)
Таким образом, обращение произведения изменяет порядок следования
сомножителей на противоположный. Тождество (2.12) лишний раз
демонстрирует отличие операторов от обычных чисел. Если же опера-
торы коммутируют, мы приходим к традиционному правилу обращения
произведения чисел.
Пример 2.6. Выразить коммутатор [
ˆ
A,
ˆ
B
ˆ
C] через коммутаторы
[
ˆ
A,
ˆ
B] и [
ˆ
A,
ˆ
C].
Решение. Приведем вначале два вспомогательных тождества:
                                        18




Решение. Преобразования осуществляем с использованием тождеств
(2.1), (2.9):

  (F̂ − Ĝ)(F̂ + Ĝ) = F̂ (F̂ + Ĝ) − Ĝ(F̂ + Ĝ) =
                             = F̂ 2 − Ĝ2 + F̂   − ĜF̂} = F̂ 2 − Ĝ2 + [F̂ , Ĝ];
                                            | Ĝ {z
                                                  [F̂ ,Ĝ]




  (F̂ + Ĝ)2 = (F̂ + Ĝ)(F̂ + Ĝ) = F̂ (F̂ + Ĝ) + Ĝ(F̂ + Ĝ) =
                                               (2.10)
                  = F̂ 2 + Ĝ2 + F̂ Ĝ + ĜF̂ = F̂ 2 + 2F̂ Ĝ + Ĝ2 − [F̂ , Ĝ].
                                 | {z }
                                    {F̂ ,Ĝ}

Мы намеренно представили результаты в форме, наиболее близкой к
соответствующим тождествам для обычных чисел. Отличие заключа-
ется в дополнительных слагаемых — коммутаторах. В случае обычных
чисел эти коммутаторы тождественно обращаются в нуль.          

Пример 2.5. Выразить оператор (F̂ Ĝ)−1 через F̂ −1 и Ĝ−1 .
Решение. Легко показать, что F̂ 1̂ = 1̂F̂ = F̂ (сделайте самостоятельно!).
По определению обратного оператора 7◦ ,

                              (F̂ Ĝ)(F̂ Ĝ)−1 = 1̂.                         (2.11)

Преобразуем левую часть (2.11) в соответствии с “сочетательным зако-
ном” (2.6) и домножим обе части (2.11) слева сначала на F̂ −1 , а затем
на Ĝ−1 . В результате получим тождество:

                             (F̂ Ĝ)−1 = Ĝ−1 F̂ −1 .                        (2.12)

Таким образом, обращение произведения изменяет порядок следования
сомножителей на противоположный. Тождество (2.12) лишний раз
демонстрирует отличие операторов от обычных чисел. Если же опера-
торы коммутируют, мы приходим к традиционному правилу обращения
произведения чисел.                                             

Пример 2.6. Выразить коммутатор [Â, B̂ Ĉ] через коммутаторы
[Â, B̂] и [Â, Ĉ].
Решение. Приведем вначале два вспомогательных тождества:

Страницы