Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
Для выполнения принципа суперпозиции состояний операторы фи-
зических величин обязаны быть линейными. В дальнейшем всюду, если
не оговорено особо, операторы предполагаются линейными.
Рекомендуем самостоятельно доказать следующие свойства били-
нейности коммутатора:
[
ˆ
A, β
ˆ
B + γ
ˆ
C] = β[
ˆ
A,
ˆ
B] + γ[
ˆ
A,
ˆ
C],
[α
ˆ
A + β
ˆ
B,
ˆ
C] = α[
ˆ
A,
ˆ
C] + β[
ˆ
B,
ˆ
C].
(2.8)
Пример 2.3. Вывести “распределительный закон” для операторов:
ˆ
A(
ˆ
B +
ˆ
C) =
ˆ
A
ˆ
B +
ˆ
A
ˆ
C,
(
ˆ
A +
ˆ
B)
ˆ
C =
ˆ
A
ˆ
C +
ˆ
B
ˆ
C.
(2.9)
Решение. Для произвольной функции Ψ выполняем последователь-
ность преобразований:
ˆ
A(
ˆ
B +
ˆ
C)Ψ
(6
◦
)
=
ˆ
A[(
ˆ
B +
ˆ
C)Ψ]
(5
◦
)
=
ˆ
A(
ˆ
BΨ +
ˆ
CΨ)
(2.7)
=
=
ˆ
A(
ˆ
BΨ) +
ˆ
A(
ˆ
CΨ)
(6
◦
)
= (
ˆ
A
ˆ
B)Ψ + (
ˆ
A
ˆ
C)Ψ
(5
◦
)
= (
ˆ
A
ˆ
B +
ˆ
A
ˆ
C)Ψ.
В соответствии с определением 1
◦
приходим к первому операторному
равенству (2.9). Аналогично выводится и второе тождество (2.9).
Тождества (2.6) и (2.9) показывают, что при алгебраических пре-
образованиях с линейными операторами можно поступать как с обыч-
ными числами. Недопустимо лишь произвольно изменять порядок со-
множителей в произведениях без учета правил коммутации. В част-
ности, за скобки можно выносить либо только крайний левый, либо
только крайний правый операторы (см. (2.9)).
Если возникает необходимость изменения порядка сомножителей,
то необходимо учитывать коммутационное соотношение между опера-
торами. На основе (2.2) легко вывести следующее тождество:
ˆ
F
ˆ
G =
ˆ
G
ˆ
F + [
ˆ
F ,
ˆ
G]. (2.10)
Пример 2.4. Раскрыть скобки в произведениях операторов:
(
ˆ
F −
ˆ
G)(
ˆ
F +
ˆ
G); (
ˆ
F +
ˆ
G)
2
.
                                            17


   Для выполнения принципа суперпозиции состояний операторы фи-
зических величин обязаны быть линейными. В дальнейшем всюду, если
не оговорено особо, операторы предполагаются линейными.
   Рекомендуем самостоятельно доказать следующие свойства били-
нейности коммутатора:

                     [Â, β B̂ + γ Ĉ] = β[Â, B̂] + γ[Â, Ĉ],
                                                                           (2.8)
                     [α + β B̂, Ĉ] = α[Â, Ĉ] + β[B̂, Ĉ].

Пример 2.3. Вывести “распределительный закон” для операторов:

                           Â(B̂ + Ĉ) = ÂB̂ + ÂĈ,
                                                                           (2.9)
                           (Â + B̂)Ĉ = ÂĈ + B̂ Ĉ.


Решение. Для произвольной функции Ψ выполняем последователь-
ность преобразований:

             (6◦ )                  (5◦ )                 (2.7)
  Â(B̂ + Ĉ)Ψ = Â[(B̂ + Ĉ)Ψ] = Â(B̂Ψ + ĈΨ) =
                                    (6◦ )                         (5◦ )
           = Â(B̂Ψ) + Â(ĈΨ) = (ÂB̂)Ψ + (ÂĈ)Ψ = (ÂB̂ + ÂĈ)Ψ.

В соответствии с определением 1◦ приходим к первому операторному
равенству (2.9). Аналогично выводится и второе тождество (2.9). 
   Тождества (2.6) и (2.9) показывают, что при алгебраических пре-
образованиях с линейными операторами можно поступать как с обыч-
ными числами. Недопустимо лишь произвольно изменять порядок со-
множителей в произведениях без учета правил коммутации. В част-
ности, за скобки можно выносить либо только крайний левый, либо
только крайний правый операторы (см. (2.9)).
   Если возникает необходимость изменения порядка сомножителей,
то необходимо учитывать коммутационное соотношение между опера-
торами. На основе (2.2) легко вывести следующее тождество:

                              F̂ Ĝ = ĜF̂ + [F̂ , Ĝ].                   (2.10)

Пример 2.4. Раскрыть скобки в произведениях операторов:

                      (F̂ − Ĝ)(F̂ + Ĝ);         (F̂ + Ĝ)2 .

Страницы