Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
Поскольку сумма функций не зависит от порядка следования слагае-
мых, сумма операторов тоже не зависит от порядка следования сла-
гаемых. Иными словами, сумма операторов всегда коммутативна (т.е.
всегда подчиняется “переместительному закону”):
ˆ
F +
ˆ
G =
ˆ
G +
ˆ
F . (2.1)
6
◦
. Произведение операторов:
ˆ
F
ˆ
G. Произведением операторов
ˆ
F и
ˆ
G называется оператор, действие которого на произвольную функ-
цию Ψ заключается в последовательном действии на нее сначала опе-
ратора
ˆ
G, а затем
ˆ
F :
(
ˆ
F
ˆ
G)Ψ
def
=
ˆ
F (
ˆ
GΨ).
В отличие от суммы, произведение операторов в общем случае зависит
от порядка следования сомножителей:
ˆ
F
ˆ
G 6=
ˆ
G
ˆ
F ,
т.е. произведение операторов некоммутативно (т.е. не подчиняется
“переместительному закону”). Если все же имеет место равенство меж-
ду произведениями
ˆ
F
ˆ
G и
ˆ
G
ˆ
F , то операторы
ˆ
F и
ˆ
G называют комму-
тирующими.
В квантовой механике оказывается удобным ввести специальную
конструкцию, построенную из произведений операторов, — коммута-
тор:
[
ˆ
F ,
ˆ
G] =
ˆ
F
ˆ
G −
ˆ
G
ˆ
F . (2.2)
Очевидно, что в случае коммутирующих операторов он становится ну-
левым оператором.
Также вводится антикоммутатор:
{
ˆ
F ,
ˆ
G} =
ˆ
F
ˆ
G +
ˆ
G
ˆ
F . (2.3)
Для антикоммутатора иногда используется обозначение [
ˆ
F ,
ˆ
G]
+
.
7
◦
. Обратный оператор:
ˆ
F
−1
. Оператором, обратным к
ˆ
F , будем
называть такой оператор
ˆ
F
−1
, для которого выполняется соотношение:
ˆ
F
−1
ˆ
F
def
=
ˆ
F
ˆ
F
−1
def
=
ˆ
1.
В соответствии с некоммутативностью произведения укажем на некор-
ректность записей типа
ˆ
F
ˆ
G
. Необходимо использовать обратный опера-
тор:
ˆ
F
ˆ
G
−1
либо
ˆ
G
−1
ˆ
F (при этом могут получиться различные резуль-
таты).
                                      15


Поскольку сумма функций не зависит от порядка следования слагае-
мых, сумма операторов тоже не зависит от порядка следования сла-
гаемых. Иными словами, сумма операторов всегда коммутативна (т.е.
всегда подчиняется “переместительному закону”):

                           F̂ + Ĝ = Ĝ + F̂ .                  (2.1)

    6◦ . Произведение операторов: F̂ Ĝ. Произведением операторов
F̂ и Ĝ называется оператор, действие которого на произвольную функ-
цию Ψ заключается в последовательном действии на нее сначала опе-
ратора Ĝ, а затем F̂ :
                                   def
                          (F̂ Ĝ)Ψ = F̂ (ĜΨ).
В отличие от суммы, произведение операторов в общем случае зависит
от порядка следования сомножителей:
                              F̂ Ĝ 6= ĜF̂ ,
т.е. произведение операторов некоммутативно (т.е. не подчиняется
“переместительному закону”). Если все же имеет место равенство меж-
ду произведениями F̂ Ĝ и ĜF̂ , то операторы F̂ и Ĝ называют комму-
тирующими.
    В квантовой механике оказывается удобным ввести специальную
конструкцию, построенную из произведений операторов, — коммута-
тор:
                         [F̂ , Ĝ] = F̂ Ĝ − ĜF̂ .             (2.2)
Очевидно, что в случае коммутирующих операторов он становится ну-
левым оператором.
   Также вводится антикоммутатор:

                        {F̂ , Ĝ} = F̂ Ĝ + ĜF̂ .              (2.3)

Для антикоммутатора иногда используется обозначение [F̂ , Ĝ]+ .
   7◦ . Обратный оператор: F̂ −1 . Оператором, обратным к F̂ , будем
называть такой оператор F̂ −1 , для которого выполняется соотношение:
                                def             def
                        F̂ −1 F̂ = F̂ F̂ −1 = 1̂.
В соответствии с некоммутативностью произведения укажем на некор-
                       F̂
ректность записей типа . Необходимо использовать обратный опера-
                       Ĝ
          −1      −1
тор: F̂ Ĝ либо Ĝ F̂ (при этом могут получиться различные резуль-
таты).

Страницы