Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
8
◦
. Целая положительная степень оператора:
ˆ
F
n
. Это n-
кратное перемножение оператора
ˆ
F на себя:
ˆ
F
n
def
=
ˆ
F · . . . ·
ˆ
F
| {z }
n раз
.
9
◦
. Оператор под знаком функции: f(
ˆ
F ). Если функция f(z)
допускает разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля
f(z) =
∞
X
n=0
c
n
z
n
,
то оператор
ˆ
F под ее знаком определяется следующим образом:
f(
ˆ
F )
def
=
∞
X
n=0
c
n
z
n
z=
ˆ
F
.
Таким образом, для внесения оператора под знак функции необходимо
знание коэффициентов тейлоровского разложения этой функции.
Определения 1
◦
–9
◦
широко используются при выводе различных
операторных тождеств. Предлагаем читателю самостоятельно убедить-
ся в справедливости тождеств:
[
ˆ
A,
ˆ
B] = −[
ˆ
B,
ˆ
A]; (2.4)
[
ˆ
A,
ˆ
A] = 0. (2.5)
Пример 2.2. Вывести “сочетательный закон” для операторов:
ˆ
A
ˆ
B
ˆ
C =
ˆ
A(
ˆ
B
ˆ
C) = (
ˆ
A
ˆ
B)
ˆ
C. (2.6)
Решение. Закон (2.6) выводится элементарно из определения произве-
дения операторов 6
◦
и операторного равенства 1
◦
.
В квантовой механике большая роль отводится так называемым ли-
нейным операторам, которые удовлетворяют условию
ˆ
F (αΨ + βΦ)
def
= α
ˆ
F Ψ + β
ˆ
F Φ (2.7)
для произвольных функций Φ, Ψ и произвольных комплексных кон-
стант α, β.
                                     16


   8◦ . Целая положительная степень оператора: F̂ n . Это n-
кратное перемножение оператора F̂ на себя:
                               def
                          F̂ n = F̂
                                 | · .{z
                                       . . · F̂} .
                                       n раз


   9◦ . Оператор под знаком функции: f (F̂ ). Если функция f (z)
допускает разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля
                                     ∞
                                     X
                          f (z) =            cn z n ,
                                     n=0

то оператор F̂ под ее знаком определяется следующим образом:
                                     ∞
                                     X
                             def
                       f (F̂ ) =           cn z n          .
                                   n=0              z=F̂

Таким образом, для внесения оператора под знак функции необходимо
знание коэффициентов тейлоровского разложения этой функции.
   Определения 1◦ –9◦ широко используются при выводе различных
операторных тождеств. Предлагаем читателю самостоятельно убедить-
ся в справедливости тождеств:

                          [Â, B̂] = −[B̂, Â];                (2.4)
                          [Â, Â] = 0.                        (2.5)

Пример 2.2. Вывести “сочетательный закон” для операторов:

                     ÂB̂ Ĉ = Â(B̂ Ĉ) = (ÂB̂)Ĉ.           (2.6)


Решение. Закон (2.6) выводится элементарно из определения произве-
дения операторов 6◦ и операторного равенства 1◦ .               
   В квантовой механике большая роль отводится так называемым ли-
нейным операторам, которые удовлетворяют условию

                                     def
                    F̂ (αΨ + βΦ) = αF̂ Ψ + β F̂ Φ              (2.7)

для произвольных функций Φ, Ψ и произвольных комплексных кон-
стант α, β.

Страницы