Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Задачи для самостоятельного решения
21. Частица с массой µ находится в δ-образной потенциальной яме
U(x) = −V
0
δ(x) (V
0
> 0). Вариационным методом получить прибли-
женное значение энергии основного состояния. Пробную функцию вы-
брать в виде Ψ(x, α) = A exp
−
1
2
αx
2
с параметром α.
(Ответ: E
0
= −
µV
2
0
π}
2
.)
22. Движение частицы с массой µ, находящейся в однородном поле тя-
готения, ограничено снизу абсоютно упругой горизонтальной пласти-
ной. Вариационным методом получить приближенное значение энергии
основного состояния частицы. Пробную функцию выбрать в следую-
щем виде:
а) Ψ(z, α) = A z exp(−αz); б) Ψ(z, α) = B z exp
−
1
2
αz
2
,
где α — вариационный параметр. Ось Oz направлена вертикально
вверх. Ускорение свободного падения g.
(Ответ: а) E
0
=
243
32
}
2
µg
2
1/3
; б) E
0
=
81
4π
}
2
µg
2
1/3
.)
23. Одномерный линейный гармонический осциллятор с массой µ и ча-
стотой ω находится в основном состоянии. Вариационным методом по-
лучить приближенное значение энергии осциллятора. Пробную функ-
цию выбрать в следующем виде:
а) Ψ(x, α) = A/(1 + x
2
/α
2
); б) Ψ(x, α) = B/(1 + x
2
/α
2
)
2
,
где α — вариационный параметр. Сравнить с точной энергией.
(Ответ: а) E
0
= }ω/
√
2 ≈ 1,414E
(0)
0
; б) E
0
=
√
7
5
}ω ≈ 1,058E
(0)
0
, где
E
(0)
0
= }ω/2 — точное значение энергии основного состояния.
Указание: продифференцировать
R
+∞
−∞
(β + z
2
)
−1
dz = π/
√
β по β.)
Объяснить, почему в случае б) результат будет точнее.
24
∗
. Решить предыдущую задачу с пробной функцией Ψ(x, α) =
= A e
−α|x|
, где α — вариационный параметр Ритца.
(Ответ: E
0
= }ω/
√
2.)
25. Одномерный линейный гармонический осциллятор с массой µ и
частотой ω находится в первом возбужденном состоянии. Вариацион-
ным методом получить приближенное значение энергии осциллятора.
Пробную функцию выбрать в виде Ψ(x, α) = A xe
−α|x|
с параметром α.
(Ответ: E
1
=
√
3 }ω).
40
Задачи для самостоятельного решения

21. Частица с массой µ находится в δ-образной потенциальной яме
U (x) = −V0 δ(x) (V0 > 0). Вариационным методом получить прибли-
женное значение энергии основного
                                      состояния.
                                                 Пробную функцию вы-
                                  1
брать в виде Ψ(x, α) = A exp − αx2 с параметром α.
                                  2
                      2
                  µV
(Ответ: E0 = − 02 .)
                  π}
22. Движение частицы с массой µ, находящейся в однородном поле тя-
готения, ограничено снизу абсоютно упругой горизонтальной пласти-
ной. Вариационным методом получить приближенное значение энергии
основного состояния частицы. Пробную функцию выбрать в следую-
щем виде:                                                    
    а) Ψ(z, α) = A z exp(−αz); б) Ψ(z, α) = B z exp − 21 αz 2 ,
где α — вариационный параметр. Ось Oz направлена вертикально
вверх. Ускорение свободного падения g.
                             1/3                     1/3
                     243 2 2                   81 2 2
(Ответ: а) E0 =          } µg      ; б) E0 =      } µg       .)
                      32                       4π
23. Одномерный линейный гармонический осциллятор с массой µ и ча-
стотой ω находится в основном состоянии. Вариационным методом по-
лучить приближенное значение энергии осциллятора. Пробную функ-
цию выбрать в следующем виде:
    а) Ψ(x, α) = A/(1 + x2 /α2 ); б) Ψ(x, α) = B/(1 + x2 /α2 )2 ,
где α — вариационный параметр. Сравнить с точной   √     энергией.
                       √              (0)            7             (0)
(Ответ: а) E0 = }ω/ 2 ≈ 1,414E0 ; б) E0 =              }ω ≈ 1,058E0 , где
                                                    5
  (0)
E0 = }ω/2 — точное значение энергии основного состояния.
                                     R +∞                   √
Указание: продифференцировать −∞ (β + z 2 )−1 dz = π/ β по β.)
Объяснить, почему в случае б) результат будет точнее.
24∗ . Решить предыдущую задачу с пробной функцией Ψ(x, α) =
= A e−α|x| , где α —√вариационный параметр Ритца.
(Ответ: E0 = }ω/ 2.)
25. Одномерный линейный гармонический осциллятор с массой µ и
частотой ω находится в первом возбужденном состоянии. Вариацион-
ным методом получить приближенное значение энергии осциллятора.
                                              −α|x|
Пробную функцию
              √ выбрать в виде Ψ(x, α) = A xe       с параметром α.
(Ответ: E1 = 3 }ω).




                                   40

Страницы