Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4.
Нестационарная теория возмущений (теория
квантовых переходов)
4.1. Возмущение, действующее в течение конечного
промежутка времени
Рассмотрим систему, находящуюся в стационарном состоянии |ii =
Ψ
i
(r) (i — initial, т. е. «начальное» состояние; зависимость от времени
не показана). Пусть в момент времени t = t
0
включается дополнитель-
ное взаимодействие
ˆ
V (r, t), зависящее в общем случае от времени и дей-
ствующее в течение конечного промежутка времени; в момент t = τ оно
выключается. Во все последующие моменты времени наша система мо-
жет быть обнаружена и в другом стационарном состоянии |fi = Ψ
f
(r)
(f — final, т. е. «конечное» состояние). В таком случае говорят, что си-
стема совершила квантовый переход из состояния |ii в состояние |fi.
Наблюдаемой характеристикой данного перехода является его вероят-
ность.
Поскольку в нашем случае в промежутке времени t
0
< t < τ гамиль-
тониан явно зависит от времени, задача расчета данной вероятности бу-
дет нестационарной. Если внешнее воздействие удовлетворяет условию
применимости теории возмущений, вероятность перехода может быть
вычислена в рамках нестационарной теории возмущений. Ограничим-
ся для простоты рассмотрением переходов только между состояниями
дискретного спектра. Амплитуда процесса в первом порядке ТВ имеет
вид:
A
fi
=
1
i}
Z
τ
t
0
hf|
ˆ
V (r, t) |iie
iω
f i
t
dt,
где ω
fi
= (E
f
− E
i
)/} — «частота перехода»; E
i
и E
f
— соответствен-
но энергии начального и конечного состояний. С амплитудой простым
образом связана вероятность перехода:
W
fi
= |A
fi
|
2
=
1
}
2
Z
τ
t
0
hf|
ˆ
V (r, t) |iie
iω
f i
t
dt
2
. (4.1)
Если можно считать, что возмущение
ˆ
V «включается» в момент време-
ни t
0
= −∞ и исчезает («выключается») при τ → +∞ (так называемый
41
Глава 4.

Нестационарная теория возмущений (теория
квантовых переходов)

4.1.    Возмущение, действующее в течение конечного
        промежутка времени
    Рассмотрим систему, находящуюся в стационарном состоянии |ii =
Ψi (r) (i — initial, т. е. «начальное» состояние; зависимость от времени
не показана). Пусть в момент времени t = t0 включается дополнитель-
ное взаимодействие V̂ (r, t), зависящее в общем случае от времени и дей-
ствующее в течение конечного промежутка времени; в момент t = τ оно
выключается. Во все последующие моменты времени наша система мо-
жет быть обнаружена и в другом стационарном состоянии |f i = Ψf (r)
(f — final, т. е. «конечное» состояние). В таком случае говорят, что си-
стема совершила квантовый переход из состояния |ii в состояние |f i.
Наблюдаемой характеристикой данного перехода является его вероят-
ность.
    Поскольку в нашем случае в промежутке времени t0 < t < τ гамиль-
тониан явно зависит от времени, задача расчета данной вероятности бу-
дет нестационарной. Если внешнее воздействие удовлетворяет условию
применимости теории возмущений, вероятность перехода может быть
вычислена в рамках нестационарной теории возмущений. Ограничим-
ся для простоты рассмотрением переходов только между состояниями
дискретного спектра. Амплитуда процесса в первом порядке ТВ имеет
вид:                            Z
                               1 τ
                       Af i =       hf | V̂ (r, t) |ii eiωf i t dt,
                              i} t0
где ωf i = (Ef − Ei )/} — «частота перехода»; Ei и Ef — соответствен-
но энергии начального и конечного состояний. С амплитудой простым
образом связана вероятность перехода:
                                 Z τ                                2
                            2  1                          iωf i t
              Wf i = |Af i | = 2     hf | V̂ (r, t) |ii e         dt . (4.1)
                              }   t0

Если можно считать, что возмущение V̂ «включается» в момент време-
ни t0 = −∞ и исчезает («выключается») при τ → +∞ (так называемый


                                    41

Страницы