Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Для возмущений, имеющих вид
ˆ
V (r, t) = V
±
(r)e
±iωt
, (4.3)
скорость перехода из состояния |ii в состояние |fi
P
fi
=
2π
}
hf|
ˆ
V
±
|ii
2
δ(E
f
− E
i
∓ }ω) (4.4)
(«золотое» правило Ферми). Согласно (4.4), переходы могут осу-
ществляться лишь в те состояния, энергия которых отличается от E
i
на
величину }ω. Таким образом, при наличии возмущения (4.3) система
может либо принимать извне, либо отдавать энергию порциями }ω.
При взаимодействии монохроматической электромагнитной волны с
заряженной системой может поглощаться (или вынужденно излучать-
ся) квант электромагнитной энергии — фотон. Скорость перехода в
этом случае также определяется из (4.3). Спонтанное излучение про-
исходит при E
f
> E
i
в результате взаимодействия с флуктуациями
вакуума. Полная проинтегрированная по E
f
скорость спонтанного пе-
рехода с частотой ω
fi
в дипольном приближении вычисляется по фор-
муле
W
(Sp)
fi
=
4
3
ω
3
if
}c
3
hf|
ˆ
d |ii
2
, (4.5)
где
ˆ
d — оператор дипольного момента системы, совершающей кванто-
вый переход (для электрона в атоме
ˆ
d = −er). Рекомендуем самостоя-
тельно проверить размерность (4.5).
Пример 4.2. Найти вероятность в единицу времени спонтанного
излучения фотона из возбужденного 2p-состояния водородоподобного
иона с зарядом Z.
Решение. Полная вероятность спонтанного излучения не может зави-
сеть от проекции орбитального момента на выделенное направление
(т. е. от ориентации излучающей системы). Поэтому для определенно-
сти предположим, что в начальном состоянии L
z
= 0, так что волновая
функция начального состояния имеет вид
Ψ
i
(r) = Ψ
210
(r, θ, ϕ) =
r
2
√
6a
5
e
−
r
2a
Y
10
(θ, ϕ), (4.6)
где a = a
0
/Z. Выпишем также явный вид волновой функции основного
1s-состояния, в которое осуществляется переход:
Ψ
f
(r) = Ψ
100
(r, θ, ϕ) =
1
√
πa
3
e
−r/a
. (4.7)
44
   Для возмущений, имеющих вид

                           V̂ (r, t) = V± (r)e±iωt ,             (4.3)

скорость перехода из состояния |ii в состояние |f i

                          2π             2
                 Pf i =      hf | V̂± |ii δ(Ef − Ei ∓ }ω)        (4.4)
                           }
(«золотое» правило Ферми). Согласно (4.4), переходы могут осу-
ществляться лишь в те состояния, энергия которых отличается от Ei на
величину }ω. Таким образом, при наличии возмущения (4.3) система
может либо принимать извне, либо отдавать энергию порциями }ω.
   При взаимодействии монохроматической электромагнитной волны с
заряженной системой может поглощаться (или вынужденно излучать-
ся) квант электромагнитной энергии — фотон. Скорость перехода в
этом случае также определяется из (4.3). Спонтанное излучение про-
исходит при Ef > Ei в результате взаимодействия с флуктуациями
вакуума. Полная проинтегрированная по Ef скорость спонтанного пе-
рехода с частотой ωf i в дипольном приближении вычисляется по фор-
муле
                                   3
                          (Sp)  4 ωif            2
                        Wf i =        hf | d̂ |ii ,            (4.5)
                                3 }c3
где d̂ — оператор дипольного момента системы, совершающей кванто-
вый переход (для электрона в атоме d̂ = −er). Рекомендуем самостоя-
тельно проверить размерность (4.5).
Пример 4.2. Найти вероятность в единицу времени спонтанного
излучения фотона из возбужденного 2p-состояния водородоподобного
иона с зарядом Z.
Решение. Полная вероятность спонтанного излучения не может зави-
сеть от проекции орбитального момента на выделенное направление
(т. е. от ориентации излучающей системы). Поэтому для определенно-
сти предположим, что в начальном состоянии Lz = 0, так что волновая
функция начального состояния имеет вид
                                         r       r
              Ψi (r) = Ψ210 (r, θ, ϕ) = √    e− 2a Y10 (θ, ϕ),   (4.6)
                                       2 6a5
где a = a0 /Z. Выпишем также явный вид волновой функции основного
1s-состояния, в которое осуществляется переход:
                                              1
                  Ψf (r) = Ψ100 (r, θ, ϕ) = √     e−r/a .        (4.7)
                                             πa 3



                                      44

Страницы