Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Для определения вероятности спонтанного излучения в дипольном
приближении необходимо вычислить матричный элемент оператора ди-
польного момента
ˆ
d = −er между начальным и конечным состояниями
иона. В сферической системе координат
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ = r
r
4π
3
Y
10
(θ, ϕ). (4.8)
Волновые функции Ψ
i
и Ψ
f
не зависят от ϕ, поэтому интегрирование
по ϕ обращает матричные элементы hf |x |ii и hf|y |ii в нуль, а hf|z |ii =
=
R
Ψ
∗
f
zΨ
i
d
3
r 6= 0. Подставляя под знак интеграла выражения (4.6)–
(4.8) и учитывая нормированность сферической функции Y
10
, получаем
hf|z |ii =
1
3
√
2 a
4
Z
∞
0
r
4
e
−
3r
2a
dr =
2
3
5
4
√
2 a.
Полная вероятность спонтанного излучения в единицу времени (4.5)
представляется в виде
W
(Sp)
fi
=
4
3
ω
3
if
e
2
}c
3
|hf|z |ii|
2
=
128
3
ω
3
if
e
2
a
2
}c
3
2
3
10
. (4.9)
Подставляя в (4.9) явное выражение для частоты 2p − 1s-перехода
ω
if
= (E
1
− E
2
)/} =
1
2
1 −
1
4
Z
2
e
2
a
0
}
=
3Z
2
e
2
8a
0
}
,
получаем окончательное выражение для вероятности спонтанного из-
лучения:
W
(Sp)
fi
= (Zα
e
)
4
2
3
8
c
a
0
. (4.10)
Для атома водорода (Z = 1) имеем следующее численное значение:
W
(Sp)
fi
≈ 0.63·10
9
с
−1
. Соответственно, для времени жизни 2p-состояния
τ = 1/W
(Sp)
fi
получаем τ = 1.6 · 10
−9
с.
45
   Для определения вероятности спонтанного излучения в дипольном
приближении необходимо вычислить матричный элемент оператора ди-
польного момента d̂ = −er между начальным и конечным состояниями
иона. В сферической системе координат
                                                       r
                                                         4π
 x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ = r      Y10 (θ, ϕ). (4.8)
                                                          3
Волновые функции Ψi и Ψf не зависят от ϕ, поэтому интегрирование
по Rϕ обращает матричные элементы hf | x |ii и hf | y |ii в нуль, а hf | z |ii =
= Ψ∗f zΨi d3 r 6= 0. Подставляя под знак интеграла выражения (4.6)–
(4.8) и учитывая нормированность сферической функции Y10 , получаем
                                     Z   ∞                       5
                              1                       3r         2    √
                hf | z |ii = √               r4 e   − 2a
                                                           dr =      4 2 a.
                            3 2 a4   0                           3

Полная вероятность спонтанного излучения в единицу времени (4.5)
представляется в виде
                          3 2                        3 2 2            10
              (Sp)     4 ωif e              2   128 ωif e a           2
             Wf i    =         |hf | z |ii|   =                            .   (4.9)
                       3 }c3                     3    }c3             3

Подставляя в (4.9) явное выражение для частоты 2p − 1s-перехода
                                      
                                1     1 Z 2 e2   3Z 2 e2
           ωif = (E1 − E2 )/} =    1−          =         ,
                                2     4 a0 }      8a0 }
получаем окончательное выражение для вероятности спонтанного из-
лучения:
                                     8
                       (Sp)       4  2    c
                    Wf i = (Zαe )           .             (4.10)
                                     3   a0
Для атома водорода (Z = 1) имеем следующее численное значение:
  (Sp)
Wf i ≈ 0.63·109 с−1 . Соответственно, для времени жизни 2p-состояния
         (Sp)
τ = 1/Wf i      получаем τ = 1.6 · 10−9 с.                                        




                                             45

Страницы