Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Свойство эрмитовости (6.4) позволяет параметризовать мат-
рицы Паули следующим образом:
ˆσ
x,y,z
=
P Se
iδ
Se
−iδ
Q
!
. (6.5)
Здесь P , Q, S, δ — подлежащие определению вещественные параметры,
причем S > 0.
Из курса линейной алгебры известно, что любую эрмитову матрицу
с помощью надлежащего унитарного преобразования можно привести
к диагональному виду. Поэтому для упрощения дальнейших расчетов
потребуем, чтобы одна из матриц, например, ˆσ
z
, была диагональной.
Остальные матрицы будут недиагональны, так как в противном случае
они бы коммутировали, вступая в противоречие с (6.3).
Таким образом, с учетом выражения (6.5) и сделанных замечаний
мы будем искать матрицы Паули в виде
ˆσ
x
=
X
1
Xe
iδ
x
Xe
−iδ
x
X
2
!
; ˆσ
y
=
Y
1
Y e
−iδ
y
Y e
iδ
y
Y
2
!
; ˆσ
z
=
Z
1
0
0 Z
2
!
.
(6.6)
На вещественные параметры в (6.6) налагаются дополнительные усло-
вия:
X > 0, Y > 0; (6.7)
ˆσ
z
6= 0. (6.8)
Будем искать параметры (6.6), используя коммутационные соотно-
шения (6.3), а также учитывая условия (6.6) — (6.8). Соотношения
(6.3) дают 12 уравнений, из которых независимыми являются только
9 вследствие антиэрмитовости коммутатора эрмитовых матриц. Число
независимых параметров в (6.6) равно 10, и один из них может быть
выбран произвольно. Поэтому мы положим δ
x
= 0.
Рассмотрим коммутатор
[ˆσ
x
, ˆσ
y
] = 2iˆσ
z
. (6.9)
Подставляя (6.6) в (6.9) и перемножая матрицы по правилам линейной
алгебры, получаем 4 уравнения:
XY sin δ
y
= Z
1
,
XY sin δ
y
= −Z
2
;
(6.10)
Y e
iδ
y
(X
1
− X
2
) = X(Y
1
− Y
2
),
Y e
−iδ
y
(X
1
− X
2
) = X(Y
1
− Y
2
).
(6.11)
54
Решение. Свойство эрмитовости (6.4) позволяет параметризовать мат-
рицы Паули следующим образом:
                                            !
                                         iδ
                                P     Se
                     σ̂x,y,z =                .               (6.5)
                                  −iδ
                               Se      Q
Здесь P , Q, S, δ — подлежащие определению вещественные параметры,
причем S > 0.
    Из курса линейной алгебры известно, что любую эрмитову матрицу
с помощью надлежащего унитарного преобразования можно привести
к диагональному виду. Поэтому для упрощения дальнейших расчетов
потребуем, чтобы одна из матриц, например, σ̂z , была диагональной.
Остальные матрицы будут недиагональны, так как в противном случае
они бы коммутировали, вступая в противоречие с (6.3).
    Таким образом, с учетом выражения (6.5) и сделанных замечаний
мы будем искать матрицы Паули в виде
                          !                        !              !
                      iδx                     −iδy
           X1      Xe                Y1    Ye                Z1 0
  σ̂x =                     ; σ̂y =                  ; σ̂z =        .
          Xe−iδx     X2             Y eiδy  Y2               0 Z2
                                                                  (6.6)
На вещественные параметры в (6.6) налагаются дополнительные усло-
вия:
                            X > 0,        Y > 0;                  (6.7)
                                 σ̂z 6= 0.                        (6.8)
    Будем искать параметры (6.6), используя коммутационные соотно-
шения (6.3), а также учитывая условия (6.6) — (6.8). Соотношения
(6.3) дают 12 уравнений, из которых независимыми являются только
9 вследствие антиэрмитовости коммутатора эрмитовых матриц. Число
независимых параметров в (6.6) равно 10, и один из них может быть
выбран произвольно. Поэтому мы положим δx = 0.
    Рассмотрим коммутатор
                            [σ̂x , σ̂y ] = 2iσ̂z .                (6.9)
Подставляя (6.6) в (6.9) и перемножая матрицы по правилам линейной
алгебры, получаем 4 уравнения:
                           XY sin δy = Z1 ,
                                                                 (6.10)
                           XY sin δy = −Z2 ;

                     Y eiδy (X1 − X2 ) = X(Y1 − Y2 ),
                                                                 (6.11)
                    Y e−iδy (X1 − X2 ) = X(Y1 − Y2 ).

                                     54

Страницы