Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

однозначно не решается. Если же дополнительно потребовать выпол-
нения условия Z > 0 (это соответствует Z
1
> Z
2
в (6.6) и(6.12)), то
единственным ненулевым ее решением будет X = Y = Z = 1.
Таким образом, мы нашли явный вид всех матриц Паули.
Приведем теперь явный вид матриц Паули в представлении с диа-
гональной ˆσ
z
(σ
z
-представление):
ˆσ
x
=
0 1
1 0
!
; ˆσ
y
=
0 −i
i 0
!
; ˆσ
z
=
1 0
0 −1
!
. (6.21)
Напомним еще раз о том, что матрицы Паули определены неодно-
значно. Используя произвольную унитарную матрицу
ˆ
U размерности
2 × 2, можно из (6.21) получить другое представление матриц Паули
ˆ
σ
0
=
ˆ
U
ˆ
σ
ˆ
U
−1
, которые также удовлетворяют свойству (6.4) и являются
самосопряженными. Заметим, что произвольная ненулевая комплекс-
ная матрица 2 × 2 может быть однозначно разложена по «базису», со-
стоящему из единичной матрицы и трех матриц Паули.
Пример 6.3. Найти наблюдаемые значения s
x,y,z
и соответствую-
щие им спиновые состояния.
Решение. Воспользуемся явным видом спиновых операторов (см. (6.2),
(6.21)).
а) Рассмотрим s
z
. Запишем уравнение для собственных функций и
собственных значений:
ˆs
z
χ = s
z
χ.
В явном виде это уравнение преобразуется в систему двух линейных
алгебраических уравнений относительно комплексных чисел a и b, из
которых составляется спинор χ =
a
b
!
:
}
2
a = s
z
a; −
}
2
b = s
z
b, (6.22)
или в матричной форме
}
2
− s
z
0
0 −
}
2
− s
z
!
a
b
!
=
0
0
!
. (6.23)
Как известно из курса линейной алгебры, данная система будет иметь
нетривиальное решение лишь в том случае, если выполняется равен-
ство нулю детерминанта матрицы в (6.23) (почему нас интересуют
только нетривиальные решения?):
56
однозначно не решается. Если же дополнительно потребовать выпол-
нения условия Z > 0 (это соответствует Z1 > Z2 в (6.6) и(6.12)), то
единственным ненулевым ее решением будет X = Y = Z = 1.
   Таким образом, мы нашли явный вид всех матриц Паули.          
   Приведем теперь явный вид матриц Паули в представлении с диа-
гональной σ̂z (σz -представление):
                    !               !              !
               0 1             0 −i           1 0
       σ̂x =          ; σ̂y =         ; σ̂z =        .    (6.21)
               1 0             i 0            0 −1

Напомним еще раз о том, что матрицы Паули определены неодно-
значно. Используя произвольную унитарную матрицу Û размерности
2 × 2, можно из (6.21) получить другое представление матриц Паули
σ̂ 0 = Û σ̂ Û −1 , которые также удовлетворяют свойству (6.4) и являются
самосопряженными. Заметим, что произвольная ненулевая комплекс-
ная матрица 2 × 2 может быть однозначно разложена по «базису», со-
стоящему из единичной матрицы и трех матриц Паули.
Пример 6.3. Найти наблюдаемые значения sx,y,z и соответствую-
щие им спиновые состояния.
Решение. Воспользуемся явным видом спиновых операторов (см. (6.2),
(6.21)).
    а) Рассмотрим sz . Запишем уравнение для собственных функций и
собственных значений:
                             ŝz χ = sz χ.
В явном виде это уравнение преобразуется в систему двух линейных
алгебраических уравнений относительно
                                   ! комплексных чисел a и b, из
                                 a
которых составляется спинор χ =     :
                                 b

                         }                       }
                           a = sz a;            − b = sz b,                 (6.22)
                         2                       2
или в матричной форме
                                                !       !           !
                     }
                         − sz          0            a           0
                     2                                      =           .   (6.23)
                         0      − }2 − sz           b           0

Как известно из курса линейной алгебры, данная система будет иметь
нетривиальное решение лишь в том случае, если выполняется равен-
ство нулю детерминанта матрицы в (6.23) (почему нас интересуют
только нетривиальные решения?):


                                           56

Страницы