ВУЗ:
Составители:
б) Рассмотрим теперь оператор ˆs
y
. Для него несколько изменим ход
решения. Диагонализуем матрицу ˆσ
y
, решая характеристическое урав-
нение
−σ
y
−i
i −σ
y
= 0,
относительно σ
y
. Получаем два корня: σ
(±)
y
= ±1 — собственные зна-
чения матрицы ˆσ
y
.
Для нахождения χ
+
решаем систему −ib = a; ia = b. Более опреде-
ленно о решении сказать нельзя ничего, и мы получаем
χ
+
= a
1
i
!
, где a 6= 0.
Для нахождения χ
−
решаем систему ib = a; ia = −b и получаем
χ
−
= a
1
−i
!
.
После нормироваки имеем: χ
±
=
1
√
2
1
±i
!
.
Проверим ортогональность χ
+
и χ
−
:
χ
†
+
χ
−
=
1
2
1 −i
1
−i
!
= 1
2
+ i
2
= 0.
Убедимся в полноте:
χ
+
χ
†
+
+ χ
−
χ
†
−
=
1
2
(
1
i
!
1 −i
+
1
−i
!
1 i
)
=
1 0
0 1
!
= I.
Теперь собственные значения ˆs
y
можем найти, пользуясь (6.2):
s
(±)
y
=
}
2
σ
(±)
y
= ±
}
2
, т. е. собственные значения у ˆs
y
— те же, что и
у ˆs
z
.
Предлагаем самостоятельно рассмотреть оператор ˆs
x
.
Решая этот пример, мы смогли убедиться в том, что собственные
значения проекции спина на выделенное направление не зависят от
выбора представления. Соответствующие им спиноры, наоборот, опре-
деляются представлением; они имеют особенно простой вид в том пред-
ставлении, которое диагонализует оператор проекции спина:
58
б) Рассмотрим теперь оператор ŝy . Для него несколько изменим ход решения. Диагонализуем матрицу σ̂y , решая характеристическое урав- нение −σy −i = 0, i −σy (±) относительно σy . Получаем два корня: σy = ±1 — собственные зна- чения матрицы σ̂y . Для нахождения χ+ решаем систему −ib = a; ia = b. Более опреде- ленно о решении сказать нельзя ничего, и мы получаем ! 1 χ+ = a , где a 6= 0. i Для нахождения χ− решаем систему ib = a; ia = −b и получаем ! 1 χ− = a . −i ! 1 1 После нормироваки имеем: χ± = √ . 2 ±i Проверим ортогональность χ+ и χ− : ! 1 1 χ†+ χ− = 1 −i = 12 + i2 = 0. 2 −i Убедимся в полноте: ( ! ! ) ! † † 1 1 1 1 0 χ+ χ+ + χ − χ− = 1 −i + 1 i = = I. 2 i −i 0 1 Теперь собственные значения ŝy можем найти, пользуясь (6.2): } } s(±) y = σy(±) = ± , т. е. собственные значения у ŝy — те же, что и 2 2 у ŝz . Предлагаем самостоятельно рассмотреть оператор ŝx . Решая этот пример, мы смогли убедиться в том, что собственные значения проекции спина на выделенное направление не зависят от выбора представления. Соответствующие им спиноры, наоборот, опре- деляются представлением; они имеют особенно простой вид в том пред- ставлении, которое диагонализует оператор проекции спина: 58
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »