Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

б) Рассмотрим теперь оператор ˆs
y
. Для него несколько изменим ход
решения. Диагонализуем матрицу ˆσ
y
, решая характеристическое урав-
нение
−σ
y
−i
i −σ
y
= 0,
относительно σ
y
. Получаем два корня: σ
(±)
y
= ±1 — собственные зна-
чения матрицы ˆσ
y
.
Для нахождения χ
+
решаем систему −ib = a; ia = b. Более опреде-
ленно о решении сказать нельзя ничего, и мы получаем
χ
+
= a
1
i
!
, где a 6= 0.
Для нахождения χ
−
решаем систему ib = a; ia = −b и получаем
χ
−
= a
1
−i
!
.
После нормироваки имеем: χ
±
=
1
√
2
1
±i
!
.
Проверим ортогональность χ
+
и χ
−
:
χ
†
+
χ
−
=
1
2
1 −i
1
−i
!
= 1
2
+ i
2
= 0.
Убедимся в полноте:
χ
+
χ
†
+
+ χ
−
χ
†
−
=
1
2
(
1
i
!
1 −i
+
1
−i
!
1 i
)
=
1 0
0 1
!
= I.
Теперь собственные значения ˆs
y
можем найти, пользуясь (6.2):
s
(±)
y
=
}
2
σ
(±)
y
= ±
}
2
, т. е. собственные значения у ˆs
y
— те же, что и
у ˆs
z
.
Предлагаем самостоятельно рассмотреть оператор ˆs
x
.
Решая этот пример, мы смогли убедиться в том, что собственные
значения проекции спина на выделенное направление не зависят от
выбора представления. Соответствующие им спиноры, наоборот, опре-
деляются представлением; они имеют особенно простой вид в том пред-
ставлении, которое диагонализует оператор проекции спина:
58
   б) Рассмотрим теперь оператор ŝy . Для него несколько изменим ход
решения. Диагонализуем матрицу σ̂y , решая характеристическое урав-
нение
                          −σy −i
                                        = 0,
                            i   −σy
                                        (±)
относительно σy . Получаем два корня: σy = ±1 — собственные зна-
чения матрицы σ̂y .
   Для нахождения χ+ решаем систему −ib = a; ia = b. Более опреде-
ленно о решении сказать нельзя ничего, и мы получаем
                               !
                             1
                     χ+ = a      , где a 6= 0.
                             i

   Для нахождения χ− решаем систему ib = a; ia = −b и получаем
                                   !
                                 1
                        χ− = a       .
                                −i
                                          !
                                   1    1
   После нормироваки имеем: χ± = √          .
                                    2 ±i
   Проверим ортогональность χ+ и χ− :
                                     !
                       1        1
              χ†+ χ− =     1 −i        = 12 + i2 = 0.
                       2          −i

  Убедимся в полноте:
                     ( !                    !                 )               !
      †        †   1   1              1                           1   0
  χ+ χ+ + χ − χ− =         1 −i +                   1 i           =               = I.
                   2   i               −i                             0   1

    Теперь собственные значения ŝy можем найти, пользуясь (6.2):
         }         }
s(±)
 y      = σy(±) = ± , т. е. собственные значения у ŝy — те же, что и
         2         2
у ŝz .
    Предлагаем самостоятельно рассмотреть оператор ŝx .           
   Решая этот пример, мы смогли убедиться в том, что собственные
значения проекции спина на выделенное направление не зависят от
выбора представления. Соответствующие им спиноры, наоборот, опре-
деляются представлением; они имеют особенно простой вид в том пред-
ставлении, которое диагонализует оператор проекции спина:


                                 58

Страницы