Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

s
2
z
−
}
2
4
= 0. (6.24)
Данное условие выполняется при таких значениях s
z
, которые являют-
ся корнями характеристического уравнения (6.24). Их два: s
(±)
z
= ±
}
2
.
Данный факт подтверждается экспериментально.
Собственные спиноры, соответствующие каждому из собственных
значений ˆs
z
, можно найти непосредственной подстановкой в систему
(6.22):
для s
(+)
z
=
}
2
}
2
a =
}
2
a; −
}
2
b =
}
2
b, откуда a 6= 0 (выбирается
произвольно), b = 0;
для s
(−)
z
= −
}
2
}
2
a = −
}
2
a; −
}
2
b = −
}
2
b, откуда b 6= 0 (выби-
рается произвольно), a = 0.
Таким образом, χ
+
= a
1
0
!
, χ
−
= b
0
1
!
. Произвольные пока норми-
ровочные константы a и b находятся из условия нормировки спиноров
на единицу χ
†
χ = 1. Окончательный ответ:
χ
+
=
1
0
!
, χ
−
=
0
1
!
. (6.25)
Эрмитовость оператора ˆs
z
влечет ортогональность собственных функ-
ций. Проверим данное утверждение, используя явный вид спиноров
(6.25):
χ
†
+
χ
−
=
1 0
0
1
!
= 1 · 0 + 0 · 1 = 0.
Условие полноты спиноров (6.25) сводится к тому, чтобы матрица
P
p=+,−
χ
p
χ
†
p
(ее размерность 2 × 2 — обратить внимание на место для
знака †!) была единичной. Для наших спиноров условие полноты вы-
полняется:
χ
+
χ
†
+
+ χ
−
χ
†
−
=
1
0
!
1 0
+
0
1
!
0 1
=
1 0
0 1
!
= I,
и χ
±
образуют базис в пространстве 2-компонентных спиноров.
Таким образом, задача формально сводится к диагонализации со-
ответствующей матрицы Паули.
57
                                      }2
                                 s2z
                                  −      = 0.                             (6.24)
                                      4
Данное условие выполняется при таких значениях sz , которые являют-
                                                                              }
ся корнями характеристического уравнения (6.24). Их два: s(±)         z  =  ±   .
                                                                              2
Данный факт подтверждается экспериментально.
    Собственные спиноры, соответствующие каждому из собственных
значений ŝz , можно найти непосредственной подстановкой в систему
(6.22):
                }    }     }           }      }
    для s(+)
         z   =         a = a; − b = b, откуда a 6= 0 (выбирается
                2    2     2           2      2
произвольно), b = 0;
                  }    }        }          }          }
    для s(−)
         z   =  −        a = −     a;    −   b  =  −    b, откуда b 6= 0 (выби-
                  2    2        2          2          2
рается произвольно), a = 0.
                              !                !
                            1                0
    Таким образом, χ+ = a       , χ− = b         . Произвольные пока норми-
                            0                1
ровочные константы a и b находятся из условия нормировки спиноров
на единицу χ† χ = 1. Окончательный ответ:
                                !                     !
                              1                     0
                      χ+ =         ,      χ− =          .                 (6.25)
                              0                     1

Эрмитовость оператора ŝz влечет ортогональность собственных функ-
ций. Проверим данное утверждение, используя явный вид спиноров
(6.25):                           !
                             0
               χ†+ χ− = 1 0         = 1 · 0 + 0 · 1 = 0.
                                1

 PУсловие
        †
           полноты спиноров (6.25) сводится к тому, чтобы матрица
    χp χp (ее размерность 2 × 2 — обратить внимание на место для
p=+,−
знака †!) была единичной. Для наших спиноров условие полноты вы-
полняется:
                          !           !              !
                        1         0          1 0
      χ+ χ†+ + χ− χ†− =       1 0 +       0 1 =        = I,
                        0           1            0 1

и χ± образуют базис в пространстве 2-компонентных спиноров.
   Таким образом, задача формально сводится к диагонализации со-
ответствующей матрицы Паули.


                                       57

Страницы