Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2.2. Алгебра операторов
Определим важнейшие правила алгебраических действий над опе-
раторами.
1
◦
. Операторное равенство
ˆ
F =
ˆ
G. Операторы
ˆ
F и
ˆ
G равны друг
другу, если при их действии на одну и ту же произвольную функцию
1
Ψ(ξ) получаются одинаковые функции.
ˆ
F Ψ(x) =
ˆ
GΨ(ξ).
В качестве предостережения рассмотрим действие операторов
ˆ
F
1
=
= −ξ и
ˆ
F
2
=
d
dξ
на функцию e
−ξ
2
/2
. Совпадение результатов не означа-
ет равенства
d
dξ
= −ξ, поскольку оно выполняется не для произволь-
ной функции. Проверьте это самостоятельно для функции ξe
−ξ
2
/2
.
2
◦
. Нулевой оператор
ˆ
0. Оператор будет нулевым, если при его
действии на произвольную функцию Ψ(ξ) результатом будет тожде-
ственный нуль:
ˆ
0Ψ(ξ)
def
≡ 0.
Шляпка над нулевым оператором, как правило, не ставится. Вместо
этого пишется число нуль. Здесь и далее символ «def» подчеркивает,
что приведенное равенство является определением.
3
◦
. Единичный оператор
ˆ
1. Оператор будет единичным, если его
действие на произвольную функцию Ψ(ξ) не изменяет последнюю:
ˆ
1Ψ(ξ)
def
= Ψ(ξ).
Шляпка над единичным оператором тоже, как правило, не ставится.
Вместо этого пишется число единица.
4
◦
. Умножение оператора на константу: α
ˆ
F . При умножении
оператора на константу получается новый оператор, действие которого
на произвольную функцию Ψ(ξ) задается правилом:
(α
ˆ
F )Ψ(ξ)
def
= α[
ˆ
F Ψ(ξ)].
5
◦
. Сумма операторов:
ˆ
F +
ˆ
G. Суммой операторов
ˆ
F и
ˆ
G называ-
ется оператор, действие которого на произвольную функцию Ψ заклю-
чается в независимом действии на нее каждого оператора по отдельно-
сти с последующим сложением результатов:
(
ˆ
F +
ˆ
G)Ψ
def
= (
ˆ
F Ψ) + (
ˆ
GΨ).
1
Из данного класса — здесь и далее.
14
2.2.     Алгебра операторов
   Определим важнейшие правила алгебраических действий над опе-
раторами.
   1◦ . Операторное равенство F̂ = Ĝ. Операторы F̂ и Ĝ равны друг
другу, если при их действии на одну и ту же произвольную функцию 1
Ψ(ξ) получаются одинаковые функции.

                                F̂ Ψ(x) = ĜΨ(ξ).

   В качестве предостережения рассмотрим действие операторов F̂1 =
             d                2
= −ξ и F̂2 =    на функцию e−ξ /2 . Совпадение результатов не означа-
             dξ
               d
ет равенства     = −ξ, поскольку оно выполняется не для произволь-
              dξ
                                                               2
ной функции. Проверьте это самостоятельно для функции ξe −ξ /2 .
   2◦ . Нулевой оператор 0̂. Оператор будет нулевым, если при его
действии на произвольную функцию Ψ(ξ) результатом будет тожде-
ственный нуль:
                                             def
                                   0̂Ψ(ξ) ≡ 0.
Шляпка над нулевым оператором, как правило, не ставится. Вместо
этого пишется число нуль. Здесь и далее символ «def» подчеркивает,
что приведенное равенство является определением.
   3◦ . Единичный оператор 1̂. Оператор будет единичным, если его
действие на произвольную функцию Ψ(ξ) не изменяет последнюю:
                                           def
                                 1̂Ψ(ξ) = Ψ(ξ).

Шляпка над единичным оператором тоже, как правило, не ставится.
Вместо этого пишется число единица.
   4◦ . Умножение оператора на константу: α F̂ . При умножении
оператора на константу получается новый оператор, действие которого
на произвольную функцию Ψ(ξ) задается правилом:
                                           def
                            (αF̂ )Ψ(ξ) = α[F̂ Ψ(ξ)].

   5◦ . Сумма операторов: F̂ + Ĝ. Суммой операторов F̂ и Ĝ называ-
ется оператор, действие которого на произвольную функцию Ψ заклю-
чается в независимом действии на нее каждого оператора по отдельно-
сти с последующим сложением результатов:
                                     def
                          (F̂ + Ĝ)Ψ = (F̂ Ψ) + (ĜΨ).
  1   Из данного класса — здесь и далее.


                                           14

Страницы