Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

В. Символ Леви – Чивита
Символ Леви – Чивита ε
ijk
, каждый индекс которого может пробе-
гать значения 1, 2, 3, или соответственно x, y, z, определяется следую-
щим образом:
1) ε
123
= 1;
2) символ изменяет знак при перестановке двух любых индексов;
как следствие, при наличии одинаковых индексов символ Леви – Чиви-
та обращается в нуль.
Можно сформулировать следующее правило вычисления символа
с тремя различными индексами: символ Леви – Чивита равен 1, если
он приводится к ε
123
циклической перестановкой индексов, и −1, если
нециклической перестановкой.
Аналогично формулируется перестановочное свойство: при цикли-
ческой перестановке индексов значение символа Леви – Чивита не из-
меняется, при нециклической перестановке символ меняет знак.
Данный символ удобен для записи декартовых компонент вектор-
ных произведений:
[A × B]
k
=
X
l,m
ε
klm
A
l
B
m
; (В.12)
(rot A)
k
=
X
l,m
ε
klm
∂A
m
∂x
l
. (В.13)
В записи (В.13) полагается x
1
≡ x, x
2
≡ y, x
3
≡ z.
Важнейшее свойство символа ε
ijk
выражается тождеством:
ε
klm
ε
pqr
=
δ
kp
δ
lp
δ
mp
δ
kq
δ
lq
δ
mq
δ
kr
δ
lr
δ
mr
. (В.14)
Сворачивая (В.14) по парам соответствующих индексов, получаем:
X
m
ε
klm
ε
pqm
= δ
kp
δ
lq
− δ
kq
δ
lp
; (В.15)
X
l,m
ε
klm
ε
plm
= 2δ
kp
;
X
k,l,m
ε
klm
ε
klm
= 6.
Тождество (В.15) использовано при выводе коммутационных соотно-
шений для оператора орбитального момента.
64
В.   Символ Леви – Чивита
   Символ Леви – Чивита εijk , каждый индекс которого может пробе-
гать значения 1, 2, 3, или соответственно x, y, z, определяется следую-
щим образом:
   1) ε123 = 1;
   2) символ изменяет знак при перестановке двух любых индексов;
как следствие, при наличии одинаковых индексов символ Леви – Чиви-
та обращается в нуль.
   Можно сформулировать следующее правило вычисления символа
с тремя различными индексами: символ Леви – Чивита равен 1, если
он приводится к ε123 циклической перестановкой индексов, и −1, если
нециклической перестановкой.
   Аналогично формулируется перестановочное свойство: при цикли-
ческой перестановке индексов значение символа Леви – Чивита не из-
меняется, при нециклической перестановке символ меняет знак.
   Данный символ удобен для записи декартовых компонент вектор-
ных произведений:
                                   �
                        [A × B]k =    εklm Al Bm ;                (В.12)
                                       l,m
                                       �            ∂Am
                          (rot A)k =         εklm        .       (В.13)
                                                     ∂xl
                                       l,m

В записи (В.13) полагается x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z.
   Важнейшее свойство символа εijk выражается тождеством:
                                  �             �
                                  �             �
                                  �δkp δlp δmp �
                                  �             �
                     εklm εpqr = ��δkq δlq δmq �� .       (В.14)
                                  �             �
                                  �δkr δlr δmr �

Сворачивая (В.14) по парам соответствующих индексов, получаем:
                    �
                       εklm εpqm = δkp δlq − δkq δlp ;      (В.15)
                      m
                     �
                            εklm εplm = 2δkp ;
                      l,m
                     �
                            εklm εklm = 6.
                    k,l,m

Тождество (В.15) использовано при выводе коммутационных соотно-
шений для оператора орбитального момента.

                                       64

Страницы