Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Г. Дельта-функция Дирака
Дельта-функция Дирака определяется как ядро «фильтрующего»
интегрального оператора, который сопоставляет произвольной регу-
лярной функции ее значение в нуле:
Z
+∞
−∞
δ(x)f(x) dx
def
= f(0).
(Г.16)
Определение (Г.16) обобщается на 3-мерный случай:
Z
δ(r)f(r) dr
def
= f(0). (Г.17)
В декартовых координатах δ-функция векторного аргумента связана с
1-мерной δ-функцией простым соотношением:
δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z). (Г.18)
Напомним основные свойства δ-функции.
1. Четность: δ(−x) = δ(x).
2. n-я производная δ-функции является ядром интегрального опе-
ратора, действующего согласно правилу:
Z
+∞
−∞
δ
(n)
(x)f(x) dx = (−1)
n
d
n
f(x)
dx
n
x=0
.
3. Дифференцируемая функция g(x) в аргументе δ-функции:
δ[g(x)] =
X
i
δ(x − x
i
)
dg(x)
dx
x=x
i
,
где x
i
— i-й нуль функции g(x). В частности,
δ(αx) =
δ(x)
|α|
.
(Г.19)
4. Аналитические представления δ-функции. Известны многочис-
ленные аналитические представления δ-функции. Напомним наиболее
распространенные интегральное
δ(x) =
1
2π
Z
+∞
−∞
e
ixq
dq
(Г.20)
65
Г.    Дельта-функция Дирака
   Дельта-функция Дирака определяется как ядро «фильтрующего»
интегрального оператора, который сопоставляет произвольной регу-
лярной функции ее значение в нуле:
                      �   +∞
                                                  def
                                δ(x)f (x) dx = f (0).              (Г.16)
                          −∞


Определение (Г.16) обобщается на 3-мерный случай:
                          �
                                              def
                               δ(r)f (r) dr = f (0).               (Г.17)

В декартовых координатах δ-функция векторного аргумента связана с
1-мерной δ-функцией простым соотношением:

                              δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z).                 (Г.18)

   Напомним основные свойства δ-функции.
   1. Четность: δ(−x) = δ(x).
   2. n-я производная δ-функции является ядром интегрального опе-
ратора, действующего согласно правилу:
              � +∞                                 �
                                         n d f (x) �
                                            n      �
                    δ (x)f (x) dx = (−1)
                     (n)
                                                     .
                −∞                          dxn �x=0

     3. Дифференцируемая функция g(x) в аргументе δ-функции:
                                  �          δ(x − xi )
                     δ[g(x)] =                �       �
                                              � dg(x) �        ,
                                    i         � dx �
                                                        x=xi

где xi — i-й нуль функции g(x). В частности,

                                             δ(x)
                                 δ(αx) =          .                (Г.19)
                                              |α|

   4. Аналитические представления δ-функции. Известны многочис-
ленные аналитические представления δ-функции. Напомним наиболее
распространенные интегральное
                                        �
                                  1          +∞
                          δ(x) =                  eixq dq          (Г.20)
                                 2π         −∞



                                        65

Страницы