Линейные операторы. Корешков Н.А. - 12 стр.

состоят из координат исходного вектора, умноженных на этот ска-
ляр.
 Указанное обстоятельство позволяет отождествлять произвольное
n –мерное векторное пространство и пространство строк длины n .

Для точной формулировки, описывающей это отождествление, вве-
дем понятие изоморфизма векторных пространств.
 Определение 4.2. Пусть V и U – два линейных пространства над
полем k . Изоморфизмом пространства V в пространство U назы-
вается биекция ϕ (т.е. взаимно однозначное отображение) V в U ,
удовлетворяющее условию:
                   ϕ (α1v1 + α 2 v 2 ) = α1ϕ ( v1 ) + α 2ϕ ( v 2 ) , v1 , v2 ∈ V , α1 , α 2 ∈ k .


 Если V есть n –мерное векторное пространство, e1 ,.., en – некоторый
фиксированный базис V, то определим отображение ϕ пространства
V в k n формулой: ϕ (v ) = (α1 , α 2 ,..., α n ) , где α1 , α 2 ,..., α n - координаты
вектора v в базисе e1 ,.., en . Из определения ϕ легко следует, что ото-
бражение является биекцией V на пространство k n . А из вышепри-
веденного замечания о правилах действия с координатами суммы и
произведения на скаляр следует линейность отображения ϕ , кото-
рую           удобнее              проверять                 в      виде            двух            условий:
ϕ (v1 + v 2 ) = ϕ (v1 ) + ϕ ( v 2 ) , ϕ (αv ) = αϕ ( v ) .

 Построенный изоморфизм показывает, что структура произвольно-
го конечномерного пространства однозначно определяется его раз-
мерностью. Чтобы подчеркнуть этот факт, приведем следующую
теорему.
 Теорема 4.3. Два линейных пространства над полем k изоморфны
тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.