Линейные операторы. Корешков Н.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1. Пространство
n
k строк длины n имеет размерность n. Действи-
тельно, вектора
)0,...,1,...0(=
i
e , i=1,…n образуют базис
n
k . Любой
вектор
∑
=
==
n
i
iin
ev
1
1
),...(
ααα
. Если 0
1
=
∑
=
n
i
ii
e
α
, то 0),...(
1
=
n
α
α
, т.е.
0...
21
=
===
n
α
α
α
. Итак, векторы
n
ee ,...,
1
образуют максимальную
линейно независимую систему.
2. Совокупность всех многочленов от переменного
x
},,)({][
0
∑
=
∈∈==
n
i
i
i
i
Nnkaxaxfxk
является бесконечномерным пространством, так как для любого n
набор векторов
n
xx,...,,1 – линейно независим.
4. Координаты. Изоморфизм пространств
Теорема 4.1. Пусть V n-мерное векторное пространство и
n
ee ,..,
1
– его базис. Тогда
1. любой вектор из V единственным образом представляется в
виде
∑
=
=
n
i
ii
ev
1
α
, k
i
∈
α
.
2. любую линейно независимую систему векторов v
1
,v
2
,…,v
m
,
m<n можно дополнить до базиса пространства V.
Доказательство. Так как система векторов
n
ee ,..,
1
максималь-
ная линейно независимая система, то вектора
n
eev ,..,,
1
– линейно за-
висимы. То есть существует ненулевой набор
),..,,(
1 n
α
α
α
такой, что
0...
11
=+++
nn
eev
α
α
α
, причем 0
≠
α
. Тогда
n
n
eev
α
α
α
α
−−−= ...
1
1
.
Если для некоторого вектора v существуют два представления:
nn
eev
α
α
++= ...
11
и
nn
eev
β
β
+
+
= ...
11
. То, вычитая из одного соотно-
шения другое, имеем:
0)(...)(
111
=
−
+
+
−
nnn
ee
β
α
β
α
. 
 1. Пространство k n строк длины n имеет размерность n. Действи-
тельно, вектора ei = (0,...1,...,0) , i=1,…n образуют базис k n . Любой
                                 n                          n
вектор      v = (α1 ,...α n ) = ∑ α i ei .    Если         ∑α e   i i   = 0,      то (α1 ,...α n ) = 0 , т.е.
                                i =1                       i =1


α1 = α 2 = ... = α n = 0 . Итак, векторы e1 ,..., en образуют максимальную

линейно независимую систему.
 2. Совокупность всех многочленов от переменного x
                                                   n
                              k [ x ] = { f ( x ) = ∑ ai x i , ai ∈ k , n ∈ N }
                                                  i =0


 является бесконечномерным пространством, так как для любого n
набор векторов 1, x,..., x n – линейно независим.
 4. Координаты. Изоморфизм пространств


 Теорема 4.1. Пусть V                        n-мерное векторное пространство и
e1 ,.., en – его базис. Тогда

   1. любой вектор из V единственным образом представляется в
            n
виде v = ∑ α i ei , α i ∈ k .
           i =1


   2. любую линейно независимую систему векторов v1,v2,…,vm,
m

Страницы