Линейные операторы. Корешков Н.А. - 9 стр.

 Итак, система векторов U ' = {u'1 ,...u' n −1 } линейно независима и ли-
                                     ^
нейно выражается через систему W = {w1 ,..., wm−1} . По предположению
индукции n − 1 ≤ m − 1 , т.е. n ≤ m . Лемма доказана.

 Следствие 3.2. Пусть U = {u1 ,..., un } и W = {w1,..., wm } – две макси-
мальные линейно независимые системы векторов пространства V.
Тогда n=m.
 Доказательство: В силу максимальности системы W набор
векторов {u s , w1 ,..., wm } будет линейно зависимым. Таким образом,
каждый вектор u s системы U линейно выражается через вектора
системы W. Мы попадаем в условия леммы о замене и потому n ≤ m .
Меняя местами системы U и W, получим m ≤ n . Из двух полученных
неравенств вытекает, что n=m.
 Доказанное следствие позволяет корректно определить понятие
размерности векторного пространства.
 Определение 3.3. Линейное пространство называется конечно-
мерным, если в нем существует конечная максимальная линейно не-
зависимая система векторов. В противном случае говорят, что
пространство бесконечномерно. Любую такую систему векторов
будем называть базисом пространства.
 Из следствия 3.2 вытекает, что количество векторов в любом бази-
се одинаково. Это позволяет сформулировать следующее определе-
ние размерности.
 Определение 3.4. Количество векторов в любом базисе конечно-
мерного пространства V называется его размерностью и обозна-
чается dim k V (Здесь k–поле скаляров, участвующее в определении
векторного пространства).
 Примеры: