ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
жала бы нулевой вектор, что противоречит линейной независимости
U, в силу следствия 2.3. Предположим, что
1=> mn
. Тогда
0
1211122112
=−=− wwuu
λ
λ
λ
λ
λ
λ
, т.е. подсистема },{
21
uu – линейно зави-
сима. Опять получаем противоречие с линейной независимостью U
(см. свойство 2.2.).
Предположим, что лемма верна для систем W с m-1 векторами и
докажем ее для систем с m векторами. Пусть в соотношениях
mnmnn
mm
wwu
wwu
λλ
λ
λ
++=
+
+
=
...
...............................
...
11
11111
все коэффициенты
ni
im
,...,1,0
=
=
λ
. Тогда по предположению ин-
дукции
mmn <−≤ 1 . Если для некоторого i 0
≠
im
λ
, то, меняя нумера-
цию, будем считать, что i=n,
0
≠
nm
λ
. Рассмотрим новую систему
векторов
}',...'{'
11 −
=
n
uuU , где
n
nm
im
ii
uuu
λ
λ
−=' , 1,...,1 −
=
ni . Тогда
∑
−
=
=
1
1
'
m
j
jiji
wu
μ
, 1,...,1 −
=
ni , т.к. после приведения подобных членов ко-
эффициенты в выражении для
i
u' при
m
w будут равны нулю.
Проверим линейную независимость системы векторов
}',...'{'
11 −
=
n
uuU . Предположим, что она линейно зависима, т.е. суще-
ствует ненулевой набор
),...,,(
121 −n
α
α
α
такой, что
0'...''
112211
=+++
−− nn
uuu
α
α
α
. Подставим вместо
i
u' их выражения:
n
nm
im
i
uu
λ
λ
− . Получим 0...
1111
=
+
+
+
−− nnn
uuu
β
α
α
. В силу линейной неза-
висимости системы
},...{
1 n
uuU = последнее соотношение возможно
только в случае, когда
0
1...1
=
=
=
=
−
β
α
α
n
. Это противоречит тому,
что
)0,...,0(),...,(
11
≠
−n
α
α
.
жала бы нулевой вектор, что противоречит линейной независимости U, в силу следствия 2.3. Предположим, что n > m = 1 . Тогда λ2 u1 − λ1u2 = λ2 λ1 w1 − λ1λ2 w1 = 0 , т.е. подсистема {u1 ,u 2 } – линейно зави- сима. Опять получаем противоречие с линейной независимостью U (см. свойство 2.2.). Предположим, что лемма верна для систем W с m-1 векторами и докажем ее для систем с m векторами. Пусть в соотношениях u1 = λ11 w1 + ... + λ1m wm ............................... un = λn1 w1 + ... + λnm wm все коэффициенты λim = 0, i = 1,..., n . Тогда по предположению ин- дукции n ≤ m − 1 < m . Если для некоторого i λim ≠ 0 , то, меняя нумера- цию, будем считать, что i=n, λnm ≠ 0 . Рассмотрим новую систему λim векторов U ' = {u'1 ,...u' n −1 } , где u ' i = ui − u , i = 1,..., n − 1 . Тогда λnm n m −1 u' i = ∑ μ ij w j , i = 1,..., n − 1 , т.к. после приведения подобных членов ко- j =1 эффициенты в выражении для u'i при wm будут равны нулю. Проверим линейную независимость системы векторов U ' = {u'1 ,...u' n −1 } . Предположим, что она линейно зависима, т.е. суще- ствует ненулевой набор (α1 , α 2 ,..., α n−1 ) такой, что α1u'1 +α 2 u' 2 +... + α n −1u' n −1 = 0 . Подставим вместо u' i их выражения: λim ui − u . Получим α 1u1 + ... + α n −1u n −1 + βu n = 0 . В силу линейной неза- λnm n висимости системы U = {u1 ,...un } последнее соотношение возможно только в случае, когда α1 = ... = α n −1 = β = 0 . Это противоречит тому, что (α1 ,..., α n −1 ) ≠ (0,...,0) .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »