Линейные операторы. Корешков Н.А. - 5 стр.

 2. Обозначим через R(a,b) множество всех функций на интервале
( a, b) ⊂ R   со значениями в R. Операции сложения и умножения на
скаляр введем поточечно, т.е. (f+g)(x)= f(x) +g(x), , (λf )( x) = λf ( x) , где
f , g ∈ R(a, b) , λR, x ∈ (a,b).

 Тогда проверка аксиом векторного пространства в R(a,b) сводится
к проверке соответствующих свойств на множестве действительных
чисел R.
 2. Линейная зависимость и ее свойства


 Основным инструментом в изучении свойств линейного простран-
ства является понятие линейной зависимости векторов.
 Определение 2.1. Набор векторов v1,v2,…,vm пространства V на-
зывается линейно зависимым, если существует ненулевой набор
скаляров      (α1 ,α 2 ,...,α m ),α i ∈ k , i = 1,..., m   такой, что
                                       α1v1 + α 2 v2 + ... + α m vm = 0                           (2.1)
 (Здесь 0 – нулевой вектор пространства V.)
 Заметим, что при m=1 система, состоящая из одного вектора v, бу-
дет линейно зависимой тогда и только тогда, когда v=0. Действи-
тельно, если v=0, то, взяв α 1 = 1 , имеем 1 ⋅ v = 0 . Обратно, если α ⋅ v = 0
и α ≠ 0 , то, умножая последнее равенство на α −1 , имеем v=0.
 В дальнейшем часто будем использовать эквивалентное определе-
ние линейной зависимости.
 Определение 2.2. Набор векторов v1,v2,…,vm, m≥2, пространства
V называется, линейно зависимым, если один из этих векторов яв-
ляется линейной комбинацией остальных, т.е.
                              v j = α 1v1 + ... + α j −1 v j −1 + α j +1 v j +1 + ... + α m v m   (2.2)

 для некоторого j и некоторых констант α 1 ,..., α j −1 , α j +1 ,..., α m .