Линейные операторы. Корешков Н.А. - 4 стр.

 IIIб) (αβ) v =α(β v) (ассоциативность), α,β ∈ k, v ∈ V;
 IVб) 1·v=v (унитарность)
 В качестве поля k в дальнейшем часто будет фигурировать либо
поле комплексных чисел C, либо поле действительных чисел R. Но
основные свойства линейного пространства не зависят от природы
основного поля. Поэтому многие свойства и конструкции, связан-
ные с линейным пространством будут рассматриваться над произ-
вольным полем.




 Примеры линейных пространств.
 1. Пусть V= {(α1 ,α 2 ,...,α n ),α i ∈ k , i = 1,..., n} – множество всевозможных
наборов длины n с компонентами из поля k. Для наборов
α = (α 1 , α 2 ,..., α n ) ∈ V и β = ( β 1 , β 2 ,..., β n ) ∈ V определим их сумму

γ = (γ 1 , γ 2 ,..., γ n ) ∈V по правилу: γ i = α i + β i i = 1,..., n . Произведение на

скаляр также определим покоординатно, т.е. λα = (λα 1 , λα 2 ,..., λα n ) .
 Тогда аксиомы Iа, IIа, Iб-IVб вытекают из соответствующих акси-
ом поля k, т.к. все проверки осуществляются покоординатно. Ней-
тральным элементом будет набор (0,0,…,0), состоящий из n ней-
тральных элементов поля. Наконец, противоположным вектором
будет набор –α = (–α1, –α2,…,-αn), состоящий из элементов, являю-
щихся противоположными для компонент вектора α. Они сущест-
вуют в силу соответствующей аксиомы в поле. Это пространство
называется пространством строк длины n, и обозначается kn.
 Как мы вскоре увидим, любое n-мерное векторное пространство
может быть отождествлено с пространством строк длины n.