Элементы дискретной математики - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯГПУ им. Ушинского | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

34
же многочлен, следовательно, коэффициенты при
m
k
m
kk
xxx ...
21
21
⋅⋅ слева и справа должны
быть равны. Поэтому
)1,...,,(...),...,1,(),...,,1(),...,,(
21212121
−
+
+
−
+−=
mmmm
kkkPkkkPkkkPkkkP .
Задача.
Раскрыть скобки и привести подобные члены в выражении (x+y+z)
4
, используя
полиномиальную формулу.
Решение.
Ясно, что коэффициенты при x
2
yz и xy
2
z равны. Поэтому достаточно найти
коэффициенты для таких разбиений n=k
1
+k
2
+…k
m
, что k
1≥
k
2≥
…
≥
k
m
, а потом
переставлять показатели всеми возможными способами. Для нашего примера имеем:
4=4+0+0; 4=3+1+0; 4=2+2+0; 4=2+1+1;
Р(4,0,0)=1; Р(3,1,0)=4; Р(2,2,0)=6; Р(2,1,1)=12.
(x+y+z)
4
=
=x
4
+y
4
+z
4
+4x
3
y+4x
3
z+4y
3
x+4y
3
z+4z
3
x+4z
3
y+6x
2
y
2
+6x
2
z
2
+6y
2
z
2
+12x
2
yz+12xy
2
z+12xyz
2
.
Задача.
Найти коэффициенты при х
5
после раскрытия скобок и приведения подобных членов в
выражении (2+х
2
-х
3
)
9
.
Решение.
В задаче нас интересует только коэффициент при х
5
, поэтому нет необходимости
искать все коэффициенты. Член, содержащий х
5
, появится только один раз как
слагаемое вида 2
7
(х
2
)
1
(-х
3
)
1
, коэффициент при этом члене согласно полиномиальной
формуле будет равен Р(7, 1, 1)=72. Следовательно, коэффициент при х
5
равен (–1) ⋅ 2
7
⋅
72 =–9 216.
Задача.
Найти коэффициенты при х
12
после раскрытия скобок и приведения подобных членов в
выражении (1+х
2
+х
5
)
8
.
Решение.
Данная задача отличается от предыдущей тем, что член, содержащий х
12
, появится два
раза: как слагаемое вида 1
2
·(х
2
)
6
(х
5
)
0
и 1
5
(х
2
)
1
(х
5
)
2
. В первом случае коэффициент
будет равен Р(2, 6, 0)=28, во втором – Р(5, 1, 2)=168. Следовательно, коэффициент при
х
12
равен 28+168=196.
Рекуррентные соотношения.
Задача.

Страницы