Составители:
Рубрика:
32
Арифметический треугольник можно записать и в таком виде:
0 1 2 3 4
0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
2 1 2 1 0 0
3 1 3 3 1 0
4 1 4 6 4 1
В данном треугольнике, в каждой клетке хранится количество способов попасть в эту
клетку из клетки (0, 0) , если ходить разрешается только вниз и по диагонали вправо. Каждое
число треугольника равно сумме числа, стоящего выше него, и числа, расположенного
наискосок влево. На пересечение k-й вертикали и n-й горизонтали можно попасть за n шагов,
k из
которых будут по диагонали, n – k по вертикали. Поэтому количество способов попасть
в клетку с координатами (n, k) равно
k
n
C .
Отметим еще следующие особенности арифметического треугольника: все элементы,
расположенные выше главной диагонали, равны нулю, а нулевой столбец состоит из единиц.
Числа, стоящие в n-й строке, являются коэффициентами в разложении бинома (1+x)
n
по
степеням x. Поэтому их называют также биноминальными коэффициентами.
Задача.
Раскрыть скобки и привести подобные члены в выражении (х+у)
5
.
Решение.
Пятая строка треугольника Паскаля имеет вид: 1 5 10 10 5 1. Поэтому
(х+у)
5
=1x
0
y
5
+5x
1
y
4
+10x
2
y
3
+10x
3
y
2
+5x
4
y
1
+1x
5
y
0
.
С помощью треугольника Паскаля можно доказать свойства биномиальных
коэффициентов. (Смотри упражнения.)
Полиномиальная формула
Полиномом называют выражение вида (x
1
+x
2
+…x
k
)
n
.
Полиномиальной формулой называют формулу для вычисления значения выражений
(x
1
+x
2
+…x
k
)
n
для различного числа слагаемых и различных натуральных степеней n.
Теорема
∑∑∑
=+++ =+++=
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
nkkk nkkk
k
m
kk
m
k
m
kk
m
n
m
i
i
m m
mm
xxx
kkk
n
xxxkkkPx
... ...
21
21
2121
1
21 21
2121
...
!!...!
!
...),...,,(
Доказательство.
Формула доказывается аналогично формуле бинома Ньютона.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
