Элементы дискретной математики - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯГПУ им. Ушинского | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

30
22422622
6
48608141534
!4!2
!6
3)2( xxxxC ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
⋅
=
−
.
Таким образом, х
2
в разложении (2х+3)
6
будет иметь коэффициент 4 860.
Числа
k
n
C
называют биномиальными коэффициентами.
С помощью бинома Ньютона легко доказать свойства биномиальных коэффициентов (чисел
k
n
C ).
Свойства биномиальных коэффициентов.
Симметричность биномиальных коэффициентов
k
n
C
=
kn
n
C
−
Это свойство следует из тождества (a+b)
n
=(b+a)
n
. Разложим обе части равенства по биному
Ньютона и рассмотрим коэффициенты при a
k
⋅b
n-k
. Справа коэффициент равен
k
n
C
, а слева
kn
n
C
−
.
Основное свойство биномиальных коэффициентов
k
n
k
n
k
n
CCC
1
1
1 −
−
−
+=
Если в формуле бинома Ньютона положить а=1, b=х то получим,
(1+x)
n
=
nn
n
kk
nnnn
xCxCxCxCC ⋅++⋅++⋅+⋅+ ......
2210
.
Если положить n равным n-1 то верно равенство
(1+x)
n-1
=
11
11
22
1
1
1
0
1
......
−−
−−−−−
⋅++⋅++⋅+⋅+
nn
n
kk
nnnn
xCxCxCxCC
.
Умножим обе части этого равенства на (1+х), получим
(1+x)
n
=)1()......(
11
11
22
1
1
1
0
1
xxCxCxCxCC
nn
n
kk
nnnn
+⋅⋅++⋅++⋅+⋅+
−−
−−−−−
.
Выражение в левой части равенства снова разложим по формуле бинома Ньютона.
Рассмотрим коэффициент при х
k
. Слева он будет равен
k
n
C . В правой части член
содержащий х
k
появится дважды: при умножении
kk
n
xC ⋅
−1
на 1 и при умножении
11
1
−−
−
⋅
kk
n
xC
на х. Поэтому коэффициент в правой части при х
k
имеет вид
k
n
k
n
CC
1
1
1 −
−
−
+ . Слева и справа
стоит один и тот же многочлен, поэтому коэффициенты при х
k
слева и справа должны быть
одинаковыми. Поэтому
k
n
k
n
k
n
CCC
1
1
1 −
−
−
+=
.
Сумма биномиальных коэффициентов
nn
n
k
nnn
CCCC 2......
10
=+++++
Воспользуемся формулой бинома Ньютона, в которой положим а=1 и b=1. Тогда
nn
n
k
nnn
CCCC )11(......
10
+=+++++
.
Знакопеременная сумма биномиальных коэффициентов
0)1(...)1(...
210
=−++−++−
n
n
nk
n
k
nnn
CCCCC
.
Воспользуемся формулой бинома Ньютона в которой положим а=1 и b=-1.
Сумма квадратов биномиальных коэффициентов
n
n
n
n
k
nnn
CCCCC
2
222120
)(...)(...)()( =+++++ .

Страницы