Составители:
Рубрика:
29
Теорема
()
∑
=
−
=+
n
k
knkk
n
n
baCba
0
Доказательство.
Данную формулу можно доказать методом математической индукции. Ниже
представлено комбинаторное доказательство.
Запишем (a+b)
n
в виде произведения (a+b)
n
=(a+b) ⋅ (a+b) ⋅ …⋅ (a+b).
Раскроем скобки в правой части этого равенства и запишем все слагаемые в виде
произведения n сомножителей а и b в том порядке, в котором они появляются.
Например, (a+b)
2
запишется в виде (a+b)
2
=(a+b) ⋅ (a+b)=aa+ab+ba+bb, а (a+b)
3
– в виде
(a+b)
3
=(a+b)⋅(a+b)⋅(a+b) =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb.
Видно, что в обе формулы входят все размещения с повторениями, составленные из
букв а и b по две (три) буквы в каждом.
В общем случае – после раскрытия скобок получим всевозможные размещения с
повторениями букв а и b, состоящие из n элементов. Используя коммутативность, приведем
подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое
количество букв а (тогда
и букв b в них будет одинаковое количество). Членов, в которые входит k букв a и,
следовательно, (n–k) букв b ровно Р(k, n–k)=
k
n
C
. Отсюда вытекает, что после приведения
подобных членов выражение a
k
b
n-k
войдет с коэффициентом
k
n
C , поэтому формула примет
вид:
()
∑
=
−
=+
n
k
knkk
n
n
baCba
0
.
Задача.
Раскрыть скобки и привести подобные члены в выражении (3х+2у)
4
, используя
формулу бинома Ньютона.
Решение.
432234
432234044
4
133
4
222
4
311
4
400
4
4
812162169616
81227449683416)2()3(
)2()3()2()3()2()3()2()3()23(
xyxyxxyy
xyxyxyxyyxC
yxCyxCyxCyxCyx
++++=
=⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅
⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+
Задача.
Найти коэффициент при х
2
в разложении (2х+3)
6
.
Решение.
В данной задаче требуется найти коэффициент только при х
2
, поэтому нет
необходимости раскрывать все выражение по формуле бинома Ньютона. Достаточно
рассмотреть только одно слагаемое
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
