Элементы дискретной математики - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯГПУ им. Ушинского | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

31
Как и при доказательстве основного свойства, используем равенство
(1+x)
n
=
nn
n
kk
nnnn
xCxCxCxCC ⋅++⋅++⋅+⋅+ ......
2210
.
Умножим обе части этого равенства на (1+х)
n
:
(1+x)
2n
=
×⋅+⋅++⋅++⋅+⋅+
−−
)......(
112210 nn
n
nn
n
kk
nnnn
xCxCxCxCxCC
).........(
11
1
112210 −−
−
−−
⋅++⋅++⋅++⋅+⋅+×
nn
n
nn
n
kk
nnnn
xCxCxCxCxCC .
Выражение в левой части равенства снова разложим по формуле бинома Ньютона.
Рассмотрим коэффициент при х
n
. Слева он будет равен
n
n
C
2
. В правой части член,
содержащий х
n
, появится n раз: при умножении
nn
n
xC ⋅
на
0
n
C
, при умножении
11 −−
⋅
nn
n
xC
на
xC
n
⋅
1
, и так далее. Используем свойство симметричности биномиальных коэффициентов,
получим коэффициент при х
n
в правой части равенства:
222120
)(...)(...)()(
n
n
k
nnn
CCCC +++++ .
Так как слева и справа стоит один и тот же многочлен, то коэффициенты при х
n
слева и
справа должны быть одинаковыми. Поэтому
n
n
n
n
k
nnn
CCCCC
2
222120
)(...)(...)()( =+++++ .
Треугольник Паскаля.
Другая, известная как треугольник Паскаля, интерпретация для биномиальных
коэффициентов получается, если рассмотреть на бесконечной шашечной доске количество
различных путей шашки от данной клетки до всех клеток доски.
Возьмем шахматную доску, ограниченную только с одной стороны, и поставим на
поле A (черного цвета) нулевой горизонтали шашку. Двигаясь по правилам игры в шашки,
она
может попасть на любое поле черного цвета из области, ограниченной прямыми AB и
AC. Напишем на каждом поле число способов, которыми можно попасть на данное поле.
Получим
А
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
В С
Эти числа обычно изображают в виде треугольника, при этом каждое число равно
сумме двух элементов предыдущей строки, между которыми оно находится. Этот
треугольник часто называют треугольником Паскаля или арифметическим треугольником.

Страницы