Численные методы. Корнюшин П.Н. - 2 стр.

                                                                                       2




                                                                    СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ ........................................................................................................................................................... 1
Аннотация.................................................................................................................................................................... 4
Рецензия на учебное пособие П.Н. Корнюшина «Численные методы»................................................................. 4
Методические указания для студентов ..................................................................................................................... 4
Модуль 1. Введение. Разностные уравнения............................................................................................................ 5
1.0. Введение ............................................................................................................................................................... 5
1.1. Разностные уравнения ....................................................................................................................................... 10
   1.1.1. Сеточные функции...................................................................................................................................... 10
     1.1.1.1. Сеточные функции и действия над ними........................................................................................... 10
     1.1.1.2. Разностные аналоги формул дифференцирования произведения и интегрирования по частям .. 10
   1.1.2. Разностные уравнения ................................................................................................................................ 11
     1.1.2.1. Разностные уравнения ......................................................................................................................... 11
     1.1.2.2. Уравнение первого порядка ................................................................................................................ 12
     1.1.2.3. Неравенства первого порядка ............................................................................................................. 12
     1.1.2.4. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами........................................................ 12
     1.1.2.5. Примеры................................................................................................................................................ 14
     1.1.2.6. Разностное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Задача Коши и краевая
     задача.................................................................................................................................................................. 15
   1.1.3. Решение разностных краевых задач для уравнений второго порядка.................................................... 16
     1.1.3.1. Решение разностных краевых задач методом прогонки................................................................... 16
     1.1.3.2. Устойчивость метода прогонки .......................................................................................................... 17
     1.1.3.3. Другие варианты метода прогонки..................................................................................................... 18
Модуль 2. Решение уравнений и задачи интерполяции ........................................................................................ 20
2.2. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений ........................................................... 20
   2.2.1. Задача отделения корней ............................................................................................................................ 20
   2.2.2. Вычисление значений корня с заданной точностью. Метод итераций .................................................. 21
   2.2.3. Метод итераций для системы уравнений.................................................................................................. 24
   2.2.4. Принцип сжатых отображений .................................................................................................................. 26
   2.2.5. Об одном принципе нахождения сходящихся итерационных процессов.............................................. 27
   2.2.6. Метод хорд (секущих) и метод деления пополам .................................................................................... 27
   2.2.7. Метод Ньютона (метод касательных) ....................................................................................................... 29
   2.2.8. Вычисление значений алгебраического полинома .................................................................................. 30
   2.2.9. Метод Лобачевского нахождения корней алгебраических многочленов .............................................. 31
2.3. Теория интерполирования................................................................................................................................. 33
   2.3.1. Задача интерполирования в линейном пространстве .............................................................................. 33
   2.3.2. Интерполяционный полином Лагранжа.................................................................................................... 35
   2.3.3. Формула остаточного члена полинома Лагранжа.................................................................................... 36
   2.3.4. Оценка остаточного члена формулы Лагранжа ....................................................................................... 36
   2.3.5. Понятие о разделенных разностях............................................................................................................. 37
   2.3.6. Интерполяционная формула Ньютона ...................................................................................................... 38
   2.3.7. Основные задачи в теории интерполирования ......................................................................................... 38
   2.3.8. Сплайн-интерполяция................................................................................................................................. 39
Модуль 3. Численное интегрирование и решение систем алгебраических уравнений ...................................... 42
3.4. Численное интегрирование ............................................................................................................................... 42
   3.4.1. Задача приближенного вычисления определенного интеграла .............................................................. 42
     3.4.1.1. Квадратурные формулы с наилучшей точностью для данного класса функций............................ 42
     3.4.1.2. Квадратурные формулы с наилучшей степенью точности .............................................................. 42
     3.4.1.3. Интерполяционные квадратурные формулы ..................................................................................... 43
     3.4.1.4. Замечания к использованию квадратурных формул......................................................................... 44
   3.4.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса ................................................................................................ 44
   3.4.3. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса.............................................................................................. 45
     3.4.3.1. Формула прямоугольников ................................................................................................................. 45
     3.4.3.2. Формула трапеций ............................................................................................................................... 45
     3.4.3.3. Формула парабол (Симпсона) ............................................................................................................. 46
   3.4.4. Квадратурные формулы Гаусса ................................................................................................................. 46
3.5. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений............................................................... 49
   3.5.1. Системы линейных алгебраических уравнений ....................................................................................... 49
     3.5.1.1. Системы уравнений ............................................................................................................................. 49