Численные методы. Корнюшин П.Н. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

50
Компоненты вектора u находятся последовательно при переходе от n к n+1, начиная с n=1:
.1,...,3,2,
1
),...,(
1
,
1
,11
1,1
11212
22
2
11
1
1
−=
−=−==
∑
=
++
++
+
Nnuaf
a
uuaf
a
u
a
f
u
n
k
kknn
nn
n
Чтобы найти вектор u=(u
1
,…, u
N
), требуется 1+3+…+2N-1=N
2
арифметических действий.
Если A – верхняя треугольная матрица, т.е. a
ij
=0 при j<i, a
ii
≠
0 (i, j=1,…, N),
,
...00
............
...0
...
222
11211
=
NN
N
N
a
aa
aaa
A
то система (1) имеет вид
.
.................................
,...
,...
22222
11212111
NNNN
NN
NN
fua
fuaua
fuauaua
=
=++
=+++
Компоненты вектора u=A
-1
f определяются последовательно при переходе от n+1 к n по
формулам
,...,
1
,...,
1
−==
∑
+=
N
nk
knkn
nn
n
NN
N
N
uaf
a
u
a
f
u
n=N-1, N-2,…, 2, 1, (2)
что требует также N
2
действий.
Выбор метода и его экономичность зависят от вида матрицы A, а также от типа
компьютера.
Для многих задач A является разреженной матрицей, большинство элементов которой –
нули. Такие матрицы часто появляются при разностной аппроксимации дифференциальных
уравнений. Элементы этой матрицы обычно вычисляются по заданным формулам, и их можно не
хранить в оперативной памяти ЭВМ. Это очень важно, т.к. порядок таких матриц может достигать
нескольких десятков и даже сотен тысяч.
Частным случаем разреженной матрицы является ленточная матрица; все ее ненулевые
элементы находятся вблизи главной диагонали, т.е. a
ij
=0, если lji >− , где l<N. Отличные от
нуля элементы расположены на 2l+1 диагоналях, включая главную диагональ. Примером является
трехдиагональная матрица
.
0...0
.........................
0...
0...0
222
11
−
−
−
=
NN
ca
bca
bc
A
Соответствующая система (1) имеет вид
.1,...,3,2
,
.................................
,
................................
,
1
11
12111
−=
=−
=+−
=
+
−
−
+−
Ni
fucua
fubucua
fubuc
NNNNN
iiiiiii
Это разностное уравнение второго порядка, которое решается методом прогонки.
3.5.1.3. Прямые и итерационные методы 
                                                               50


       Компоненты вектора u находятся последовательно при переходе от n к n+1, начиная с n=1:
                   f1         1                                      1                n
                                                                                                     
           u1 =       , u2 =      ( f 2 − a 21u1 ),..., u n +1 =            f n +1 − ∑ a n +1,k u k , n = 2,3,..., N − 1.
                  a11        a 22                                a n+1,n+1           k =1           
       Чтобы найти вектор u=(u1,…, uN), требуется 1+3+…+2N-1=N2 арифметических действий.
       Если A – верхняя треугольная матрица, т.е. aij=0 при j l , где l

Страницы