Численные методы. Корнюшин П.Н. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

48
Тогда, применяя к функции f(x) квадратурную формулу, получим
∫∫ ∫
∑
=
=+=
b
a
b
a
b
a
n
k
k
n
kn
xrcdxxrxpdxxqxxpdxxfxp
1
)(
).()()()()()()()(
ϖ
Последнее равенство является точным в силу того, что интерполяционная формула с n
узлами имеет алгебраический порядок точности не ниже, чем n-1, а степень полинома r(x) не
выше, чем n-1. Учитывая (17), окончательно получаем равенство
∑
∫
=
=
n
k
k
n
k
b
a
xfcdxxfxp
1
)(
).()()(
Гаусс, рассматривая случай p(x)
≡
1, предложил в качестве
ω
n
(x) использовать полиномы
Лежандра, корни которых и следует использовать в качестве узлов квадратурной формулы. В этом
случае показано, что для остаточного члена справедлива следующая оценка:
,
)12(])!2[(
)!()(
)(
2
3
412
n
n
M
nn
nab
fR
+
−
≤
+
.)(sup
)2(
],[
2
xfM
n
ba
n
=
В настоящее время составлены таблицы узлов и весов квадратурной формулы Гаусса при
n=1, 2,…, 512. 
                                                        48


       Тогда, применяя к функции f(x) квадратурную формулу, получим
               b                   b                                b                 n

               ∫ p( x) f ( x)dx = ∫ p( x)ϖ n ( x)q( x)dx + ∫ p( x)r ( x)dx = ∑ ck r ( xk ).
                                                                                (n)

               a                   a                                a                k =1

       Последнее равенство является точным в силу того, что интерполяционная формула с n
узлами имеет алгебраический порядок точности не ниже, чем n-1, а степень полинома r(x) не
выше, чем n-1. Учитывая (17), окончательно получаем равенство
                                       b                      n

                                       ∫ p( x) f ( x)dx =∑ ck f ( xk ).
                                                            (n)

                                       a                     k =1

       Гаусс, рассматривая случай p(x) ≡ 1, предложил в качестве ωn(x) использовать полиномы
Лежандра, корни которых и следует использовать в качестве узлов квадратурной формулы. В этом
случае показано, что для остаточного члена справедлива следующая оценка:
                                   (b − a) 2 n+1 (n!) 4
                        R( f ) ≤                        M 2 n , M 2 n = sup f ( 2 n ) ( x) .
                                   [(2n)!] (2n + 1)
                                          3
                                                                        [ a ,b ]

       В настоящее время составлены таблицы узлов и весов квадратурной формулы Гаусса при
n=1, 2,…, 512.

Страницы