Численные методы. Корнюшин П.Н. - 47 стр.

                                                                       47


    b
∫a
        p ( x) f ( x)dx . Требуется таким образом выбрать n узлов на [a,b] и n коэффициентов
квадратурной формулы, чтобы эта формула была точна для алгебраических многочленов как
можно более высокой степени. Пусть формула точна для многочленов степени m:
f(x)=a0+a1x+…+amxm. Тогда имеем
                   b                           b                   b              b

                   ∫ p( x) f ( x)dx = a ∫ p( x)dx + a ∫ p( x) xdx + ... + a ∫ p( x) x
                                                                                        m
                                           0                   1              m             dx.   (14)
                   a                           a                   a              a
                                     b
                                 ∫       p ( x) f ( x)dx = ∑k =1 ck( n ) f ( xk ). Учитывая, что последняя формула по
                                                                   n
            С другой стороны
                                     a
предположению верна для любого многочлена степени m, т.е. для любых наборов коэффициентов
a0, a1,…,am, в силу произвольности этих коэффициентов (полагая отличным от нуля только ai в i-м
уравнении, а значения остальных m-1 коэффициентов в i-м уравнении принимая равными нулю)
получим следующую систему уравнений
                                                                           b
                                    c1( n ) + c2( n ) + ... + cn( n ) = ∫ p ( x)dx = µ 0 ,
                                                                           a
                        c ( n ) x + c ( n ) x + ... + c ( n ) x = b p ( x) xdx = µ ,
                         1 1 2 2                                 n     n      ∫a                 1   (15)
                                       .......... .......... .......... .......... .......... ..
                        c ( n ) x m + c ( n ) x m + ... + c ( n ) x m = b p ( x) x m dx = µ .
                         1 1              2     2              n     n       ∫a                   m

            Введенная в системе уравнений величина, обозначенная µk, k=0, 1,…, m называется
моментом функции p(x).
       Поскольку имеется m+1 уравнение, а неизвестных 2n (n переменных и n коэффициентов),
то из равенства m+1=2n следует максимальная степень многочлена, для которого квадратурная
формула еще точна: m=2n-1.
       Для доказательства существования решения системы уравнений (15) введем в
рассмотрение многочлен ωn(x) с единичным старшим коэффициентом, корнями которого являются
искомые узлы: ωn(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn).
       Теорема. Необходимое и достаточное условие того, чтобы квадратурная формула с n
узлами имела алгебраический порядок точности 2n-1 заключается в следующем: узлы этой
функции должны быть корнями многочлена ωn(x), ортогонального с весом p(x) к любому
многочлену степени не выше n-1, т.е. для любого многочлена q(x) степени не выше n-1 должно
иметь место равенство
                                           b

                                           ∫ p( x)ω
                                           a
                                                      n   ( x)q ( x)dx = 0.   (16)

        Доказательство.
        Необходимость. Пусть формула является точной для любого многочлена степени не выше
2n-1. Требуется доказать, что имеет место равенство (16).
        Учитывая, что степень q(x) не выше n-1, получаем, что ωn(x)q(x) имеет степень не выше,
чем 2n-1. Следовательно, для многочлена ωn(x)q(x) эта квадратурная формула точна, т.е. имеет
место точное равенство
                                 b                                      n

                                 ∫ p( x)ω n ( x)q( x)dx = ∑ ck ϖ n ( xk )q( xk ) =0,
                                                             ( n)

                                 a                                     k =1

        Равенство нулю следует из того, что ωn(xk)=0.
        Достаточность. Пусть имеет место (15). Докажем, что квадратурная формула
интерполяционного типа, построенная по корням ωn(x), точна для любого многочлена степени не
выше 2n-1.
        Пусть f(x) – многочлен степени не выше 2n-1. Тогда можно его представить в виде
f(x)=ωn(x)q(x)+r(x), где q(x), r(x) – многочлены степени не выше n-1. Поскольку узлы квадратурной
формулы одновременно являются корнями многочлена ωn(x), то во всех этих узлах выполняется
соотношение
                                     f(xj)=r(xj) j=1, 2,…,n.  (17)