Численные методы. Корнюшин П.Н. - 46 стр.

                                                                46


                      b
                                     b−a                                      (b − a ) 3
                     ∫    f ( x)dx =     ( f (a) + f (b) ) + R( f ), R( f ) ≤            M 2.          (6)
                      a
                                      2                                          12
      Аналогично предыдущему случаю разбив [a,b] на m частей и применив на каждой из них
формулу трапеции, получим обобщенную формулу трапеции:
        b
                       (b − a )                                                           (b − a ) 3
        ∫
        a
            f ( x)dx =
                         2m
                                [ y 0 + 2 y1 + 2 y 2 + ... + y m ] + Rm ( f ), Rm ( f ) ≤
                                                                                           12n 2
                                                                                                     M2,         (7)

        где введены следующие обозначения: yi=f(xi), i=0, 1,…, m.


                                         3.4.3.3. Формула парабол (Симпсона)

       Рассмотрим формулу Ньютона-Котеса замкнутого типа с тремя узлами. Эта формула
является точной для любого многочлена степени не больше двух.
       Построим функцию y=Ax2+Bx+C по трем равноотстоящим точкам (x=a, x=(a+b)/2, x=b),
значения которой в этих точках равны значениям заданной функции y0, y1, y2. Сделав замену
переменной t=x-(a+h/2), где h=b-a, получим следующую систему уравнений
                                        y 0 = y (−h / 2) = Ah 2 / 4 − Bh / 2 + C ,
                                       
                                                     y1 = y (0) = C ,                   (8)
                                        y = y (h / 2) = Ah 2 / 4 + Bh / 2 + C.
                                        2
      Сложив уравнения этой системы, предварительно домножив второе уравнение на 4,
получим следующее соотношение:
                              Ah2/2+6C=y0+4y1+y2.   (9)
                                         Вычислим
                h/2
        S=∫              ( Ax 2 + Bx + C )dx = Ax 3 / 3 h− h/ 2/ 2 +Ch = Ah 3 / 12 + Ch = h( Ah 2 / 2 + 6C ) / 6 ,
                −h / 2
       или, с учетом (9) S=h(y0+4y1+y2)/6=(b-a)(y0+4y1+y2)/6. Если теперь подынтегральную
функцию f(x) заменить функцией y, то получим в качестве частного случая формулы Ньютона-
Котеса формулу парабол (Симпсона):
                                   b
                                                   b−a
                                   ∫ f ( x)dx =
                                   a
                                                    6
                                                       ( y 0 + 4 y1 + y 2 ) + R ( f ).   (10)

      Для остаточного члена в случае существования ограниченной четвертой производной
функции f(x) справедлива следующая оценка:
                                           (b − a ) 5
                                  R( f ) ≤            M 4 , M 4 = sup f ( 4) ( x) .       (11)
                                            32 * 90               [ a ,b ]

      Разделив далее отрезок на 2m частей, обозначая значения функции f(x) в точках деления yi,
применяя к двум последовательным сегментам формулу Симпсона (всего m раз) и складывая,
получим:
    b
                      b−a
    ∫ f ( x)dx =
    a
                       6m
                          [ y 0 + y 2 m + 2( y 2 + y 4 + ... + y 2 m −2 ) + 4( y3 + y5 + ... + y 2 m−1 )] + R ( f ), (12)

                                                          (b − a) 5
                                              R( f ) ≤              M 4.          (13)
                                                         32 * 90m 4


                                         3.4.4. Квадратурные формулы Гаусса

      Квадратурные формулы Гаусса. Такое название носят квадратурные формулы с
наивысшим порядком точности относительно алгебраических многочленов. Пусть дан интеграл