Численные методы. Корнюшин П.Н. - 44 стр.

                                                                   44


                       3.4.1.4. Замечания к использованию квадратурных формул

1) При использовании квадратурных формул для вычисления интегралов основной объем работы
   содержится в вычислении значений функции в узлах интерполяционной формулы, т.к.
   значения коэффициентов c (jn ) табулированы. Следовательно, надо выбирать квадратурную
   формулу с минимальным числом узлов при обеспечении необходимой точности.
2) Если каждое из значений функции в квадратурной формуле вычисляется с погрешностью δ, то
                                                                                                                                 ∑
                                                                                                                                     n
     неустранимая погрешность квадратурной формулы может достичь величины δ                                                          j =1
                                                                                                                                            c (jn ) .
     Отсюда вытекает, что необходимо при вычислениях использовать квадратурные формулы,
     которые имеют малые по абсолютной величине коэффициенты.



                               3.4.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

       Такое название носят квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные по
равноотстоящим узлам. Различают формулы двух видов.
1) Формулы открытого типа. В этих формулах границы сегмента интегрирования [a,b] не входят
   в число узлов квадратурной формулы.
2) Формулы замкнутого типа. В этом случае точки a и b являются узлами квадратурной
   формулы.
       Рассмотрим формулы второго типа.
       Разобьем сегмент интегрирования [a,b] на n равных частей и в качестве узлов
интерполирования     возьмем     точки   деления    и   границы     сегмента.    Получим
           b−a
xj = a +       j , j = 0,1,..., n .        Вводя         обозначение           x0=a,       (b-a)/n=h,         получаем             xj=x0+jh.
            n
Интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x) по этим узлам для системы степенных
функций имеет вид
                                   n            ( x − x0 )( x − x1 )...( x − x j −1 )( x − x j +1 )...( x − xn )
                    Ln ( x) = ∑ f ( x j )                                                                                 .
                                j =0        ( x j − x0 )( x j − x1 )...( x j − x j −1 )( x j − x j +1 )...( x j − xn )
         Введем q=(x-x0)/h ⇒ x=x0+qh; тогда
              n
                         h n q (q − 1)(q − 2)...(q − (q − 1))(q − (q + 1))...(q − n) n (−1) n − j                  q [ n+1]
 Ln ( x) = ∑ f ( x j )                                                              = ∑                  f ( x j )          ,
             j =0                           h n j!(n − j )!(−1) n − j                 j = 0 j!( n − j )!           q− j
поскольку x-xj-1=x0+hq-x0-h(j-1)=h(q-(j-1))=h(q-(j-1)); xj-xj-1=x0+hj-x0-h(j-1)=h. Здесь введено
обозначение q[n+1]=q(q-1)…(q-j)…(q-n).
         Вычислим коэффициенты квадратурной формулы интерполяционного типа. Полагая
p(x) ≡ 1, с учетом x=x0+hq; dx=hdq; x=x0 ⇒ q=0; x=b ⇒ q = n получим
                               b                                      b                               n
                                                          (−1) n− j q [ n +1]      (−1) n − j h q [ n+1]
                      c (jn ) = ∫ p ( x)Φ j ( x)dx =
                                                         j!(n − j )! ∫a q − j      j!(n − j )! ∫0 q − j
                                                                              dx =                       dq.
                               a

         Вводя в рассмотрение c (jn ) = (b − a ) H (j n ) , получим выражение, называемое формулой для
коэффициентов Котеса
                                                                  n
                                                      (−1) n − j    q [ n +1]
                                                    j!(n − j )!n ∫0 q − j
                                       H (j n ) =                             dq, j = 0,1,..., n.

         Приведем свойства коэффициентов Котеса.
1)   H (j n ) = H n( n−)j , j=0, 1,…, n.

                                                                                                              ∑
                                                                                                                   n
2) Поскольку формула является точной для многочлена нулевой степени, то                                            j =0
                                                                                                                          H (j n ) = 1.
3) При возрастании n коэффициенты Котеса безгранично возрастают.