Численные методы. Корнюшин П.Н. - 42 стр.

                                                                  42




Модуль 3. Численное интегрирование и решение систем алгебраических
                            уравнений

                               3.4. Численное интегрирование

                  3.4.1. Задача приближенного вычисления определенного интеграла
                                         b
        Пусть дан интеграл J =       ∫a
                                             f ( x)dx , где a, b < ∞ . На практике часто встречаются
следующие ситуации, требующие применения численного интегрирования: для заданного
интеграла не существует первообразной («не берущийся» интеграл); первообразная сложна, и ее
вычисление связано со значительными трудностями. В качестве приближенных значений
интегралов в этих случаях естественно воспользоваться оценками по формулам, напоминающим
интегральные суммы, т.е. линейные комбинации конечного числа значений подынтегральной
                                                           b
                                             J = ∫ f ( x)dx ≅ ∑k =1 ck( n ) f ( xk( n ) ) . Формулы такого типа
                                                                             n
функции на заданном сегменте:
                                                        a

называются квадратурными. Значения                   {x } называются узлами, а {c } – коэффициентами
                                                        ( n)
                                                        k
                                                                                                (n)
                                                                                                k

                                                               f ( x)dx − ∑k =1 c k( n ) f ( x k( n ) ) называется остаточным
                                                           b
                                                       ∫
                                                                            n
квадратурных формул. Число Rn ( f ) =
                                                        a

членом квадратурной формулы.
       При такой постановке возникают две задачи: 1) нужно определить, каким образом
разбивать сегмент [a,b], и как выбирать узлы, чтобы получить возможно более точное значение
интеграла; 2) необходимо решить проблему увеличения скорости сходимости интегральных сумм.
       Часто рассматривают вычисление интегралов более общего вида
                                              b
                                    J = ∫ p ( x) f ( x)dx,                       (1)
                                                 a
       где p(x) – весовая функция. Можно строить квадратурные формулы из разных
соображений. Рассмотрим некоторые из них.


    3.4.1.1. Квадратурные формулы с наилучшей точностью для данного класса функций

        Обозначим через R некоторый класс функций, интегрируемых по Риману. Пусть
_
R n = sup Rn ( f ) , где Rn(f) – остаточный член некоторой квадратурной формулы для функции
       f ∈R

f ∈ R . Ставится задача такого выбора узлов и коэффициентов квадратурной формулы, чтобы
              _
величина R n , т.е. точная верхняя грань по остаточным членам всех функций этого класса, была
наименьшей. Такую формулу н6азывают формулой с наилучшей точностью для данного класса
функций.


                  3.4.1.2. Квадратурные формулы с наилучшей степенью точности

        Пусть {ϕ k ( x)}k =0 – базисное множество в некотором пространстве функций, причем
                          ∞


множество функций {ϕ k ( x)}k =0 . Где n – фиксированное число, образует систему Чебышева
                                n


порядка n (многочлен по этой системе имеет не более n корней). Обозначим через Фm(x)
                                    ∑
                                             m
множество всех многочленов вида              k =0
                                                     α k ϕ k ( x) , где α0, α1,…, αm – действительные числа.