ВУЗ:
Составители:
43
Зафиксируем число узлов квадратурной формулы n и будем подбирать ее коэффициенты и
расположение узлов так, чтобы эта формула была точна для многочленов как можно более
высокой степени m. Порядок многочлена m, для которого формула еще точна (при условии, что
она уже не точна для многочлена порядка m+1) и называется степенью точности квадратурной
формулы такого типа. Говорят, что это формула наилучшей степени точности m.
Чаще всего в качестве системы функций
{
}
n
k
k
x
0
)(
=
ϕ
выбираются степенные функции
{}
.
0
∞
=k
k
x
3.4.1.3. Интерполяционные квадратурные формулы
Пусть
{}
n
k
k
x
0
)(
=
ϕ
– система функций Чебышева на сегменте [a,b], на котором также задана
функция f(x). Рассмотрим интеграл
∫
b
a
dxxfxp )()( и построим на [a,b] по узлам
{
}
n
j
j
x
0=
интерполяционный полином Лагранжа L
n
(x)=
∑
=
Φ
n
j
jj
xxf
0
).()( Поскольку f(x)=L
n
(x)+R
n
(x), то
∫
b
a
dxxfxp )()( =
∑
∫∫
=
=+Φ
n
j
b
a
b
a
njj
dxxRxpdxxxpxf
0
)()()()()(
∑
=
+=
n
j
j
n
j
fRxfc
0
)(
),()(
где
∫
Φ=
b
a
j
n
j
dxxxpc )()(
)(
(j=0, 1,…, n) – коэффициенты, а
∫
=
b
a
n
dxxRxpfR )()()( –
остаточный член квадратурной формулы интерполяционного типа. Коэффициенты
)(n
j
c не зависят
от f(x), а определяются только весовой функцией и узлами интерполяции.
Установим связь между квадратурной формулой интерполяционного типа и
квадратурными формулами определенного порядка точности по отношению к определенному
виду многочлена.
Теорема. Необходимое и достаточное условие того, чтобы квадратурная формула с n
узлами была интерполяционной для системы функций
{
}
1
0
)(
−
=
n
k
k
x
ϕ
, которая является системой
Чебышева, заключается в следующем: эта формула должна иметь порядок точности не ниже n-1
для системы обобщенных многочленов вида
∑
−
=
1
0
)(
n
j
jj
x
ϕα
, где
α
j
– любые действительные числа.
Доказательство.
Необходимость. Дано: соотношение
∫
∑
=
≈
b
a
n
j
j
n
j
xfcdxxfxp
1
)(
)()()(
является
интерполяционной формулой. Следовательно, эта формула точна, если в качестве функции f(x)
взять некоторый многочлен вида
∑
−
=
1
0
)(
n
j
jj
x
ϕα
. Действительно, функция совпадает со своим
интерполяционным многочленом, и остаточный член полинома Лагранжа равен нулю, а поэтому
равен нулю и остаточный член квадратурной формулы.
Достаточность. Пусть квадратурная формула является точной по заданной системе
функций для многочленов порядка не ниже n-1. В частности, эта формула будет точна для
фундаментальных многочленов Φ
j
(x), обладающих свойством
=∀
≠
=
=Φ npj
jp
jp
x
pj
,...,2,1,,
,0
,1
)(
. Тогда
∫
∑
=
=Φ=Φ
b
a
n
p
n
jpj
n
pj
cxcdxxxp
1
)()(
,)()()( j=1,2,…,n.
Итак, коэффициенты данной квадратурной формулы выражаются как коэффициенты
интерполяционной формулы. Следовательно, данная квадратурная формула является
интерполяционной.
Следствие. Интерполяционная квадратурная формула с n узлами по системе функций
{}
1
0
)(
−
=
n
k
k
x
ϕ
имеет порядок точности по этой системе функций не ниже, чем n-1.
43
Зафиксируем число узлов квадратурной формулы n и будем подбирать ее коэффициенты и
расположение узлов так, чтобы эта формула была точна для многочленов как можно более
высокой степени m. Порядок многочлена m, для которого формула еще точна (при условии, что
она уже не точна для многочлена порядка m+1) и называется степенью точности квадратурной
формулы такого типа. Говорят, что это формула наилучшей степени точности m.
Чаще всего в качестве системы функций {ϕ k ( x)}k =0 выбираются степенные функции
n
{x }
k ∞
k =0 .
3.4.1.3. Интерполяционные квадратурные формулы
Пусть {ϕ k ( x)}k =0 – система функций Чебышева на сегменте [a,b], на котором также задана
n
функция f(x). Рассмотрим интеграл ∫a
b
p ( x) f ( x)dx и построим на [a,b] по узлам {x }
j
n
j =0
∑
n
интерполяционный полином Лагранжа Ln(x)= j =0
f ( x j )Φ j ( x). Поскольку f(x)=Ln(x)+Rn(x), то
p ( x) f ( x)dx = ∑ j =0 f ( x j ) ∫ p ( x)Φ j ( x)dx + ∫ p ( x) Rn ( x)dx =
b n b b
∫
a a a
= ∑ j =0 c
n (n)
j f ( x j ) + R( f ),
b b
где c (jn ) = ∫ a
p ( x)Φ j ( x)dx (j=0, 1,…, n) – коэффициенты, а R ( f ) = ∫ p ( x) Rn ( x)dx –
a
остаточный член квадратурной формулы интерполяционного типа. Коэффициенты c (jn ) не зависят
от f(x), а определяются только весовой функцией и узлами интерполяции.
Установим связь между квадратурной формулой интерполяционного типа и
квадратурными формулами определенного порядка точности по отношению к определенному
виду многочлена.
Теорема. Необходимое и достаточное условие того, чтобы квадратурная формула с n
узлами была интерполяционной для системы функций {ϕ k ( x)}k =0 , которая является системой
n −1
Чебышева, заключается в следующем: эта формула должна иметь порядок точности не ниже n-1
∑
n −1
для системы обобщенных многочленов вида j =0
α jϕ j ( x) , где αj – любые действительные числа.
Доказательство.
b
∫ p ( x) f ( x)dx ≈ ∑ j =1 c (jn ) f ( x j )
n
Необходимость. Дано: соотношение является
a
интерполяционной формулой. Следовательно, эта формула точна, если в качестве функции f(x)
∑
n −1
взять некоторый многочлен вида j =0
α jϕ j ( x) . Действительно, функция совпадает со своим
интерполяционным многочленом, и остаточный член полинома Лагранжа равен нулю, а поэтому
равен нулю и остаточный член квадратурной формулы.
Достаточность. Пусть квадратурная формула является точной по заданной системе
функций для многочленов порядка не ниже n-1. В частности, эта формула будет точна для
фундаментальных многочленов Φj(x), обладающих свойством
1, p = j b
∫ p ( x)Φ j ( x)dx = ∑ p =1 c (pn ) Φ j ( x p ) = c (jn ) , j=1,2,…,n.
n
Φ j (x p ) = , ∀j , p = 1,2,..., n . Тогда
0, p ≠ j a
Итак, коэффициенты данной квадратурной формулы выражаются как коэффициенты
интерполяционной формулы. Следовательно, данная квадратурная формула является
интерполяционной.
Следствие. Интерполяционная квадратурная формула с n узлами по системе функций
{ϕ k ( x)}nk−=10 имеет порядок точности по этой системе функций не ниже, чем n-1.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
