Численные методы. Корнюшин П.Н. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

45
Следствие. Из свойств коэффициентов Котеса вытекает, что эти формулы
нецелесообразно применять при больших значениях n.
3.4.3. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса
3.4.3.1. Формула прямоугольников
Рассмотрим формулу Ньютона-Котеса открытого типа с одним узлом. Эта формула верна
для алгебраических многочленов нулевой степени. Выберем в качестве узла интерполяции
середину заданного интервала интегрирования [a,b]. Тогда, применяя формулу Котеса, получаем
соотношение, называемое формулой прямоугольников:
∫
+
+
−=
b
a
fR
ba
fabdxxf )(
2
)()(
. (2)
Это название следует из того, что искомое значение интеграла приближенно оценивается
площадью прямоугольника, имеющего высоту, равную значению подынтегральной функции в
точке (a+b)/2, а его длина равна длине отрезка [a,b] (см. рис. 4.1).
Если функция f(x) имеет ограниченную вторую производную, то для остаточного члена
имеется следующая оценка:
,
24
)(
)(
2
3
M
ab
fR
−
≤ )(''sup
],[
2
xfM
ba
= . (3)
На практике применяют обобщенную формулу прямоугольников. Она получается
следующим образом. Отрезок интегрирования [a,b] разбивается на m равных частей и к каждому
элементарному сегменту применяется формула прямоугольников:
∫
+
−
−+++
−
++
−
+
−
=
b
a
n
fR
m
ab
maf
m
ab
af
m
ab
af
m
ab
dxxf ),(
2
)12(...
2
3
2
)(
(4)
.
24
)(
24
)(
)(
2
2
3
2
3
3
M
m
ab
mM
m
ab
fR
m
−
=
−
≤
(5)
3.4.3.2. Формула трапеций
Формула трапеций. Так называется формула Ньютона-Котеса замкнутого типа с двумя
узлами. Интерполяционная формула точна для многочленов первой степени, т.е. для линейных
функций. Запишем эту формулу с оценкой остаточного члена: 
                                                       45


       Следствие. Из свойств коэффициентов Котеса                              вытекает,      что   эти   формулы
нецелесообразно применять при больших значениях n.



                        3.4.3. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса

                                   3.4.3.1. Формула прямоугольников

       Рассмотрим формулу Ньютона-Котеса открытого типа с одним узлом. Эта формула верна
для алгебраических многочленов нулевой степени. Выберем в качестве узла интерполяции
середину заданного интервала интегрирования [a,b]. Тогда, применяя формулу Котеса, получаем
соотношение, называемое формулой прямоугольников:
                               b
                                                      a+b
                               ∫ f ( x)dx = (b − a) f 
                               a
                                                           + R( f ) .
                                                        2 
                                                                                  (2)

        Это название следует из того, что искомое значение интеграла приближенно оценивается
площадью прямоугольника, имеющего высоту, равную значению подынтегральной функции в
точке (a+b)/2, а его длина равна длине отрезка [a,b] (см. рис. 4.1).




       Если функция f(x) имеет ограниченную вторую производную, то для остаточного члена
имеется следующая оценка:
                                     (b − a ) 3
                            R( f ) ≤            M 2 , M 2 = sup f ' ' ( x) .            (3)
                                        24                  [ a ,b ]

       На практике применяют обобщенную формулу прямоугольников. Она получается
следующим образом. Отрезок интегрирования [a,b] разбивается на m равных частей и к каждому
элементарному сегменту применяется формула прямоугольников:
   b
                  b−a        b−a            b−a                          b − a 
   ∫ f ( x)dx =
   a
                      
                   m  
                        f a +      + f a + 3
                                2m      
                                                     + ... + f  a + (2m − 1)
                                                 2m            
                                                                                      + Rn ( f ),
                                                                                2m 
                                                                                                            (4)

                                         (b − a) 3        (b − a) 3
                            Rm ( f ) ≤             mM 2 =           M 2.            (5)
                                          24m 3            24m 2
                                         3.4.3.2. Формула трапеций

       Формула трапеций. Так называется формула Ньютона-Котеса замкнутого типа с двумя
узлами. Интерполяционная формула точна для многочленов первой степени, т.е. для линейных
функций. Запишем эту формулу с оценкой остаточного члена:

Страницы