Численные методы. Корнюшин П.Н. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

40
Вычислим производные
f'(x)=b
i
+2c
i
(x-x
i-1
)+3d
i
(x-x
i-1
)
2
,
f''(x)=2c
i
+6d
i
(x-x
i-1
), x
∈
[x
i-1
, x
i
]
и потребуем их непрерывности при x=x
i
. Это требование после несложных преобразований
приводит к следующим соотношениям:
b
i+1
=b
i
+2c
i
h
i
+3d
i
h
2
i
, c
i+1
=c
i
+3d
i
h
i
, i=1, 2,…, n-1. (5)
Общее число неизвестных коэффициентов, очевидно, равно 4n, число уравнений (4), (5)
равно 4n-2. Недостающие два уравнения получаем из условий (2) при x=x
0
и x=x
n
:
с
1
=0, c
n
+3d
n
h
n
=0.
Выражая из (5) d
i
=(c
i+1
-c
i
)/(3h
i
), подставляя это выражение в (4) и исключая a
i
=y
i-1
,
получим
b
i
=(y
i
-y
i-1
)/h
i
-h
i
(c
i+1
+2c
i
)/3, i=1, 2,…, n-1,
b
n
=(y
n
-y
n-1
)/h
n
-2h
n
c
n
/3.
Подставив теперь выражения для b
i
, b
i+1
и d
i
в первую формулу (5), после несложных
преобразований получаем для определения c
i
разностное уравнение второго порядка
−−
=+++
−
+
+
++++
i
ii
i
ii
iiiiiii
h
yy
h
yy
chchhch
1
1
1
2111
3)(2
, i=1, 2,…, n-1 (6)
с краевыми условиями
c
1
=0, c
n+1
=0. (7)
Условие c
n+1
=0 эквивалентно условию c
n
+3d
n
h
n
=0 и уравнению c
i+1
=c
i
+3d
i
c
i
при i=n.
Разностное уравнение (6) с условиями (7) решаются методом прогонки.
Можно ввести понятие сплайна порядка m как функции, которая является полиномом
степени m на каждом из отрезков сетки и во всех внутренних узлах сетки удовлетворяет условиям
непрерывности функции и производных до порядка m-1 включительно. Обычно для интерполяции
используются случаи m=3 (рассмотренный выше кубический сплайн) и m=1 (линейный сплайн,
соответствующий аппроксимации графика функции y(x) ломаной, проходящей через точки (x
i
, y
i
)). 
                                                         40


       Вычислим производные
                                  f'(x)=bi+2ci(x-xi-1)+3di(x-xi-1)2,
                                 f''(x)=2ci+6di(x-xi-1), x ∈ [xi-1, xi]
и потребуем их непрерывности при x=xi. Это требование после несложных преобразований
приводит к следующим соотношениям:
                     bi+1=bi+2cihi+3dih i2 , ci+1=ci+3dihi, i=1, 2,…, n-1. (5)
       Общее число неизвестных коэффициентов, очевидно, равно 4n, число уравнений (4), (5)
равно 4n-2. Недостающие два уравнения получаем из условий (2) при x=x0 и x=xn:
                                          с1=0, cn+3dnhn=0.
       Выражая из (5) di=(ci+1-ci)/(3hi), подставляя это выражение в (4) и исключая ai=yi-1,
получим
                            bi=(yi-yi-1)/hi-hi(ci+1+2ci)/3, i=1, 2,…, n-1,
                                       bn=(yn-yn-1)/hn-2hncn/3.
       Подставив теперь выражения для bi, bi+1 и di в первую формулу (5), после несложных
преобразований получаем для определения ci разностное уравнение второго порядка
                                                          y − y i y i − y i −1 
           hi ci + 2(hi + hi +1 )ci +1 + hi +1ci + 2 = 3 i +1                  , i=1, 2,…, n-1   (6)
                                                          hi +1       hi        
с краевыми условиями
                                    c1=0, cn+1=0.      (7)
       Условие cn+1=0 эквивалентно условию cn+3dnhn=0 и уравнению ci+1=ci+3dici при i=n.
Разностное уравнение (6) с условиями (7) решаются методом прогонки.
       Можно ввести понятие сплайна порядка m как функции, которая является полиномом
степени m на каждом из отрезков сетки и во всех внутренних узлах сетки удовлетворяет условиям
непрерывности функции и производных до порядка m-1 включительно. Обычно для интерполяции
используются случаи m=3 (рассмотренный выше кубический сплайн) и m=1 (линейный сплайн,
соответствующий аппроксимации графика функции y(x) ломаной, проходящей через точки (xi, yi)).

Страницы