Численные методы. Корнюшин П.Н. - 39 стр.

                                                           39


       Вторая задача состоит в "равномерном приближении функции на сегменте". При решении
этой задачи стремятся получить возможно меньшее по модулю максимальное уклонение функции
от интерполяционного полинома на всем сегменте [a,b]. При решении этой задачи большую роль
играют оценки остаточных членов интерполяционных формул.
       Прежде чем воспользоваться интерполяционной формулой, необходимо ответить на
следующие вопросы.
       1) Какие следует выбрать узлы?
       В качестве узлов лучше всего брать корни многочлена Чебышева. Этот подход справедлив
для равномерного приближения на отрезке. Если речь идет о таблицах, в подавляющем
большинстве случаев выбирают равномерное распределение узлов.
       2)Какой выбирается класс функций для интерполирования?

       Чаще всего используются следующие системы функций:                         {x }; cos
                                                                                    j     sin jx 
                                                                                              jx
                                                                                                 , {e } . Все эти
                                                                                                      αjx

                                                                                              
системы функций переходят сами в себя при замене переменной x на x+a, т.е. эти системы
функций не зависят от начала отсчета. Кроме того, система степенных функций переходит сама в
себя и при замене переменной x на ax, т.е. она не зависит от масштаба.
        3)Какова желаемая точность результатов?
        Точность выбирается исходя из задачи. Вычислительная практика показывает, что вопрос
о необходимой точности решения надо рассматривать не только перед вычислительным
процессом, но и в ходе его, особенно на том этапе, когда полученные результаты преобразуются к
виду, поставленному алгоритмистом.
        4)Каким критерием согласия следует руководствоваться?
        Классический критерий согласия, который используется в теории интерполирования
следующий: требование точного совпадения интерполяционного многочлена со значениями
функции в заданных точках. Если же рассматривать интерполирование более широко (например,
использование интерполяционных формул при численном интегрировании), то можно
использовать и другие критерии согласия: Приведем три таких критерия:
        • минимизация суммы квадратов уклонений от значений функции в заданных точках,
            т.е. минимизация ошибки;
        • минимизация уклонения интерполяционного полинома от функции на всем сегменте
            задания функции;
        • совпадения в заданных точках значений интерполяционной функции не только со
            значениями функции, но и совпадение в этих точках значений их производных
            (сплайн-интерполяция).



                                      2.3.8. Сплайн-интерполяция

       Рассмотрим случай кусочно-полиномиальной интерполяции, когда между любыми
соседними узлами интерполяции строится кубический полином (кубическая сплайн-
интерполяция). Коэффициенты полинома на каждом интервале определяются из условий
сопряжения в узлах:
                                                  f i = yi ,
                                    f ' ( x − 0) = f ' ( x + 0),
                                              i                i
                                                                           (1)
                                    f ' ' ( x i − 0) = f ' ' ( x i + 0),
                                            i = 1,2,..., n − 1.
       Кроме того, на границе при x=x0 и x=xn ставятся условия
                                      f''(x0)=0, f''(xn)=0.            (2)
       Будем искать кубический полином в виде
                      f(x)=ai+bi(x-xi-1)+ci(x-xi-1)2+di(x-xi-1)3, x ∈ [xi-1, xi].      (3)
       Из условия fi=yi имеем
             f(xi-1)=ai=yi-1, f(xi)=ai+bihi+cih i2 +dih 3i =yi, hi=xi-xi-1, i=1, 2,…, n-1.      (4)