ВУЗ:
Составители:
37
,)(
)!1(
)()()(
1
1
x
n
M
xLxfxR
n
n
nn +
+
+
≤−=
ω
x
∈
[a,b].
Представляют интерес ответы на следующие вопросы: каково влияние выбора корней в
заданном интервале, каким образом нужно расположить точки
{
}
n
i
i
x
0=
на [a,b], чтобы
обеспечивалось как можно меньшее значение max
?)(
1
x
n+
ω
Ответ на эти вопросы следует искать,
изучая свойства полиномов Чебышева. Полиномы Чебышева задаются следующим соотношением:
T
n
(x)=cos(narccosx). Получим рекуррентное соотношение для вычисления значений полиномов
Чебышева, для чего проведем следующие расчеты:
T
0
(x)=1; T
1
(x)=cos(arccosx)=x; T
2
(x)=cos(2arccosx)=2cos
2
(arccosx)-1=2x
2
-1.
Обозначая θ=arccosx (или x=cos), имеем
cos(n-1)θ+cos(n+1)θ=2cosθcosnθ
⇒ cos(n+1)θ=2cosθcosnθ-cos(n-1)θ,
или
T
n+1
(x)=2xT
n
(x)-T
n-1
(x). (3)
Найдем корни многочлена T
n
(x) и его производной T'
n
(x). В принятых обозначениях имеем:
T
n
(x)=cos(narccos(cosθ))=cosnθ; cosnθ=0; θ
k
=π(2k+1)/(2n); x
k
=cos[π(2k+1)/(2n)], k=0,1,…,n-1.
T'
n
(x)=nsin(narccosx)/
2
1 x− ; sin(arccosx)=0; x
j
=cos(jπ/n), j=1,2,…,n-1.
Итак, все n корней многочлена Чебышева T
n
(x) расположены на сегменте [-1,1];
экстремальные значения многочлена T
n
[cos(jπ/n)]=cos(jπ)=(-1)
j
, j=1,2,…,n-1; на концах сегмента
T
n
(1)=1, T
n
(-1)=(-1)
т
. Поэтому многочлен Чебышева n+1 раз достигает на [-1,1] экстремальное
значение (-1)
i
с последовательным чередованием знаков.
Возьмем в качестве многочлена ω
n+1
(x) на [-1,1] следующий:
)(
2
1
)(
11
xTx
n
n
n ++
=
ω
. (4)
Анализ формулы (3) приводит к выводу, что старший коэффициент многочлена T
n
(x) равен
2
n-1
. Тогда многочлен ω
n+1
(x) имеет единичный старший коэффициент, т.е. ω
n+1
(x) на [-1,1]
уклоняется от нуля не более, чем на 1/2
n
.
Несложно доказать [1], что никакой другой многочлен P
n+1
(x) с единичным старшим
коэффициентом не уклоняется от нуля на [-1,1] менее, чем на 1/2
n
. Таким образом, среди всех
многочленов ω
n+1
(x) наименее уклоняется от нуля многочлен 1/2
n
T
n+1
(x), который на сегменте [-
1,1] не превосходит величины 1/2
n
.
Итак, если в качестве узлов интерполяции выбрать корни многочлена Чебышева, то
остаточный член формулы Лагранжа принимает следующий вид:
,
2)!1(
)()(
1
n
n
n
n
M
xLxf
+
≤−
+
где
.)(max
)1(
]1,1[
1
xfM
n
n
+
−
+
=
2.3.5. Понятие о разделенных разностях
Пусть дана непрерывная на [a,b] функция f(x) и узлы интерполирования
{
}
1
1
+
=
n
j
j
x
.
Разделенными разностями первого порядка называются следующие величины:
.1,...,2,1,
)()(
],[
1
1
1
+=
−
−
=
−
−
−
nj
xx
xfxf
xxf
jj
jj
jj
Разделенные разности второго порядка суть
.
],[],[
],,[
11
11
11
−+
−+
+−
−
−
=
jj
jjjj
jjj
xx
xxfxxf
xxxf
Тогда по индукции разделенная разность (k+1)-го порядка есть
1
111
1
],...,,[],...,,[
],...,,[
−+
−+−++
+−
−
−
=
jkj
kjjjkjjj
kjjj
xx
xxxfxxxf
xxxf
.
37
M n +1
R n ( x) = f ( x) − Ln ( x) ≤ ω n +1 ( x) , x ∈ [a,b].
(n + 1)!
Представляют интерес ответы на следующие вопросы: каково влияние выбора корней в
заданном интервале, каким образом нужно расположить точки {x i }in=0 на [a,b], чтобы
обеспечивалось как можно меньшее значение max ω n+1 ( x) ? Ответ на эти вопросы следует искать,
изучая свойства полиномов Чебышева. Полиномы Чебышева задаются следующим соотношением:
Tn(x)=cos(narccosx). Получим рекуррентное соотношение для вычисления значений полиномов
Чебышева, для чего проведем следующие расчеты:
T0(x)=1; T1(x)=cos(arccosx)=x; T2(x)=cos(2arccosx)=2cos2(arccosx)-1=2x2-1.
Обозначая θ=arccosx (или x=cos), имеем
cos(n-1)θ+cos(n+1)θ=2cosθcosnθ ⇒ cos(n+1)θ=2cosθcosnθ-cos(n-1)θ,
или
Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x). (3)
Найдем корни многочлена Tn(x) и его производной T'n(x). В принятых обозначениях имеем:
Tn(x)=cos(narccos(cosθ))=cosnθ; cosnθ=0; θk=π(2k+1)/(2n); xk=cos[π(2k+1)/(2n)], k=0,1,…,n-1.
T'n(x)=nsin(narccosx)/ 1 − x 2 ; sin(arccosx)=0; xj=cos(jπ/n), j=1,2,…,n-1.
Итак, все n корней многочлена Чебышева Tn(x) расположены на сегменте [-1,1];
экстремальные значения многочлена Tn[cos(jπ/n)]=cos(jπ)=(-1)j, j=1,2,…,n-1; на концах сегмента
Tn(1)=1, Tn(-1)=(-1)т. Поэтому многочлен Чебышева n+1 раз достигает на [-1,1] экстремальное
значение (-1)i с последовательным чередованием знаков.
Возьмем в качестве многочлена ωn+1(x) на [-1,1] следующий:
1
ω n +1 ( x) = Tn +1 ( x) . (4)
2n
Анализ формулы (3) приводит к выводу, что старший коэффициент многочлена Tn(x) равен
2n-1. Тогда многочлен ωn+1(x) имеет единичный старший коэффициент, т.е. ωn+1(x) на [-1,1]
уклоняется от нуля не более, чем на 1/2n.
Несложно доказать [1], что никакой другой многочлен Pn+1(x) с единичным старшим
коэффициентом не уклоняется от нуля на [-1,1] менее, чем на 1/2n. Таким образом, среди всех
многочленов ωn+1(x) наименее уклоняется от нуля многочлен 1/2nTn+1(x), который на сегменте [-
1,1] не превосходит величины 1/2n.
Итак, если в качестве узлов интерполяции выбрать корни многочлена Чебышева, то
остаточный член формулы Лагранжа принимает следующий вид:
M n +1
f ( x) − Ln ( x) ≤ , где M n +1 = max f ( n +1) ( x) .
(n + 1)!2 n [ −1,1]
2.3.5. Понятие о разделенных разностях
Пусть дана непрерывная на [a,b] функция f(x) и узлы интерполирования {x }
j
n +1
j =1
.
Разделенными разностями первого порядка называются следующие величины:
f ( x j ) − f ( x j −1 )
f [ x j −1 , x j ] = , j = 1,2,..., n + 1.
x j − x j −1
Разделенные разности второго порядка суть
f [ x j , x j +1 ] − f [ x j −1 , x j ]
f [ x j −1 , x j , x j +1 ] = .
x j +1 − x j −1
Тогда по индукции разделенная разность (k+1)-го порядка есть
f [ x j , x j +1 ,..., x j + k ] − f [ x j −1 , x j ,..., x j + k −1 ]
f [ x j −1 , x j ,..., x j + k ] = .
x j + k − x j −1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
