ВУЗ:
Составители:
35
0)(
...1
...............
...1
...1
2
1
2
11
0
2
00
≠−=
∏
>ij
ij
n
nnn
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
.
Получившийся определитель является хорошо известным в линейной алгебре
определителем Вандермонда.
Из предыдущей теоремы вытекает, что обобщенный интерполяционный полином
A(x)=
∑
=
n
k
kk
xa
0
)(
ϕ
может быть представлен в виде ),()(
0
xxA
k
n
k
k
ϕ
∑
=
∆
∆
= где
,
)(...)()(
.....................................
)(...)()(
)(...)()(
10
11110
00100
nnnn
n
n
xxx
xxx
xxx
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
=∆
.
)(...)()(...)(
.....................
)(...)()(...)(
)(...)()(...)(
110
11111110
00100100
nnnknnkn
nkk
nkk
k
xxxx
xxxx
xxxx
ϕϕαϕϕ
ϕϕαϕϕ
ϕϕαϕϕ
+−
+−
+−
=∆
При решении задачи интерполяции значения функции f(x
i
)=α
i
достаточно произвольны.
Гораздо более важным является расположение узлов интерполяции
{
}
m
i
i
x
1=
. Поэтому преобразуем
∆
k
следующим образом. Разложим определитель ∆
k
по элементам столбца α
0
,…,α
n
:
∆
k
=
∑
=
∆
n
j
kjj
0
α
, где ∆
kj
– алгебраические дополнения соответствующих элементов (с точностью
до знака). Тогда выражение для A(x) может быть преобразовано следующим образом:
)()(
0
xxA
k
n
k
k
ϕ
∑
=
∆
∆
=
=
(
)
∑∑
==
∆
∆
n
ok
k
n
j
kjj
x)(
1
0
ϕα
=
∑
=
Φ
n
j
jj
x
0
),(
α
где
).()(
0
xx
k
n
k
kj
j
ϕ
∑
=
∆
∆
=Φ
Существенная особенность многочленов Ф
j
(x) состоит в том, что коэффициенты этих
многочленов не зависят от значений f(x
i
)=α
i
, а зависят только от расположения точек
{
}
n
i
i
x
0=
на
[a,b]. Многочлены Ф
j
(x) носят название фундаментальных многочленов для заданной системы
точек. Поскольку (что достаточно просто показать)
∑
=
≠
=
=∆
∆
=Φ
n
k
kjikij
ji
ji
xx
0
,,0
,,1
)(
1
)(
ϕ
то
i
n
j
ijji
xxA
αα
=Φ=
∑
=0
)()( . Это свойство фундаментальных многочленов в
дальнейшем будет широко использоваться.
2.3.2. Интерполяционный полином Лагранжа
Пусть
,)(
i
i
xx =
ϕ
i=0,1,…,n. Требуется построить алгебраический интерполяционный
полином L
n
(x), удовлетворяющий условиям L
n
(x
i
)=f(x
i
), i=0,1,…,n, где
{}
n
i
i
x
0=
– различные
заданные на [a,b] точки. Можно записать L
n
(x)=
∑
=
Φ
n
i
ji
xxf
0
),()( где
≠=
=
=Φ
.,,0
,1
)(
jpxx
xx
x
p
j
j
Из данного свойства Ф
j
(x
i
) следует, что можно Ф
j
(x
i
) представить в
следующем виде:
Ф
j
(x
i
)=a(x-x
0
)(x-x
1
)…(x-x
j-1
)(x-x
j+1
)…(x-x
n
).
35
1 x0 x 02 ... x 0n
1 x1 x12 ... x1n
= ∏ ( x j − xi ) ≠ 0 .
... ... ... ... ... j >i
2 n
1 xn x n ... x n
Получившийся определитель является хорошо известным в линейной алгебре
определителем Вандермонда.
Из предыдущей теоремы вытекает, что обобщенный интерполяционный полином
∆k
∑ a k ϕ k ( x) может быть представлен в виде A( x) = ∑k = 0
n n
A(x)= ϕ k ( x), где
k =0
∆
ϕ 0 ( x0 ) ϕ1 ( x0 ) ... ϕ n ( x0 ) ϕ 0 ( x0 ) ... ϕ k −1 ( x0 ) α 0 ϕ k +1 ( x0 ) ... ϕ n ( x0 )
ϕ 0 ( x1 ) ϕ1 ( x1 ) ... ϕ n ( x1 ) ϕ 0 ( x1 ) ... ϕ k −1 ( x1 ) α 1 ϕ k +1 ( x1 ) ... ϕ n ( x1 )
∆= , ∆k = .
........... ............ ... ........... ... ... ... ... ... ... ...
ϕ 0 ( x n ) ϕ1 ( x n ) ... ϕ n ( x n ) ϕ 0 ( x n ) ... ϕ k −1 ( x n ) α n ϕ k +1 ( x n ) ... ϕ n ( x n )
При решении задачи интерполяции значения функции f(xi)=αi достаточно произвольны.
Гораздо более важным является расположение узлов интерполяции {x i }i =1 . Поэтому преобразуем
m
∆k следующим образом. Разложим определитель ∆k по элементам столбца α0,…,αn:
∑
n
∆k= j =0
α j ∆ kj , где ∆kj – алгебраические дополнения соответствующих элементов (с точностью
до знака). Тогда выражение для A(x) может быть преобразовано следующим образом:
A( x) = ∑k = 0
n ∆k
∆
1 n
ϕ k ( x) = ∑k = o
∆
(∑ n
j =0
)
α j ∆ kj ϕ k ( x) = ∑ j = 0 α j Φ j ( x),
n
∆ kj
∑
n
где Φ j ( x) = ϕ k ( x).
k =0
∆
Существенная особенность многочленов Фj(x) состоит в том, что коэффициенты этих
многочленов не зависят от значений f(xi)=αi, а зависят только от расположения точек {x i }i = 0 на
n
[a,b]. Многочлены Фj(x) носят название фундаментальных многочленов для заданной системы
точек. Поскольку (что достаточно просто показать)
1 n 1, i = j ,
Φ j ( xi ) = ∑ ϕ k ( xi )∆ kj =
∆ k =0 0, i ≠ j ,
A( xi ) = ∑ j =0 α j Φ j ( xi ) = α i . Это свойство фундаментальных многочленов в
n
то
дальнейшем будет широко использоваться.
2.3.2. Интерполяционный полином Лагранжа
Пусть ϕ i ( x) = x i , i=0,1,…,n. Требуется построить алгебраический интерполяционный
полином Ln(x), удовлетворяющий условиям Ln(xi)=f(xi), i=0,1,…,n, где {x i }in=0 – различные
∑
n
заданные на [a,b] точки. Можно записать Ln(x)= i =0
f ( x i )Φ j ( x), где
1, x = xj
Φ j ( x) = Из данного свойства Фj(xi) следует, что можно Фj(xi) представить в
0, x = x p , p ≠ j .
следующем виде:
Фj(xi)=a(x-x0)(x-x1)…(x-xj-1)(x-xj+1)…(x-xn).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
