Численные методы. Корнюшин П.Н. - 33 стр.

                                                                  33




                                        2.3. Теория интерполирования

         Пусть на некотором сегменте [a,b] вещественной оси заданы точки {x i }i =1 , причем x1=a;
                                                                                                                 m


xm=b, и в этих точках заданы некоторые действительные значения { f ( x i )}i =1 . Требуется найти
                                                                                                             m


такую непрерывную на [a,b] функцию φ(x), которая удовлетворяла бы следующим условиям:
φ(xi)=f(xi), i=1, 2,…,m. Задача нахождения функции φ(x), т.е. задача нахождения значений функции
между заданными точками и есть задача интерполирования. При этом функция φ(x) называется
интерполирующей (интерполяционной), а точки {x i }i =1 – узлами интерполяции.
                                                                            m


         Интерполяция применяется во многих задачах, связанных с вычислениями. Укажем
некоторые из этих задач.
         Обработка результатов физического эксперимента – построение приближенных формул
для характерных величин по табличным данным, полученным экспериментально.
         Построение приближенных формул по данным вычислительного эксперимента. Здесь
возникают нестандартные задачи интерполяции, т.к. обычно пишутся формулы возможно более
простой структуры.
         Субтабулирование, т.е. сгущение таблиц. Применяется в тех случаях, когда
непосредственное вычисление функции затруднено или когда имеется мало экспериментальных
данных. В машину вводится наибольшая таблица, а нужные при расчетах значения функции
находятся по мере необходимости по интерполяционной формуле.
         Интерполяция применяется также в задаче обратного интерполирования: задана таблица
yi=y(xi); найти xi как функцию от yi. Примером обратного интерполирования может служить задача
о нахождении корней уравнения.
         Интерполяционные формулы используются также при вычислении интегралов, при
написании разностных аппроксимаций для дифференциальных уравнений на основе интегральных
тождеств.



                        2.3.1. Задача интерполирования в линейном пространстве

       Пусть R – линейное пространство непрерывных действительных функций {f(x)} на [a,b].
Пусть конечная или счетная система функций {φj(x)} ⊂ R такова, что любой конечный набор из
                                                                                    {
этих функций линейно независим. Рассмотрим функции ϕ j ( x) j = 0 . Любое выражение вида
                                                                n
                                                                                            }
A(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+…+anφn(x), где {aj} – действительные числа, называется "обобщенным"
                                                   {      }
полиномом по системе функций ϕ j ( x) j = 0 . Пусть на [a,b] заданы n+1 точка {x i }i = 0 , и пусть в
                                        n                                           n


этих точках заданы значения f(xi), i=0, 1,…, n. Требуется построить "обобщенный" многочлен А(х)
по системе функций ϕ j ( x) {          }n
                                           j =0
                                                  такой, чтобы выполнялись условия A(xi)=f(xi), i=0,1,…,n.

         Определение. Система функций ϕ j ( x)             {     } n
                                                                     j =0
                                                                            . называется системой Чебышева (Т-системой)
на [a,b], если любой полином А(х) по этой системе функций имеет на сегменте [a,b] не более n
нулей, в предположении, что хотя бы один из коэффициентов полинома отличен от нуля.
        Теорема. Необходимое и достаточное условие того, чтобы существовал обобщенный
интерполяционный полином по заданной системе функций ϕ j ( x)                           {       }
                                                                                                n
                                                                                                    j =0
                                                                                                           при любых различных

точках   {x i }in=0 ,   заданных на [a,b], и при любых значениях f(xi)=αi, заключается в том, чтобы
система функций             {ϕ   j   ( x)} j = 0 , была Т-системой. При этом интерполяционный полином
                                        n


единственный.
           Утверждение теоремы эквивалентно следующему утверждению: каковы бы ни были числа
{x i }i =0 и каковы бы ни были числа αi, система уравнений вида
      n