Численные методы. Корнюшин П.Н. - 31 стр.

                                                           31


       2.2.9. Метод Лобачевского нахождения корней алгебраических многочленов

          Главное достоинство этого метода состоит в том, что он не требует знания о
приближенных значениях корней. Он применяется в тех случаях, когда многочлен имеет
различные действительные корни.
          Метод реализуется в два этапа. Если корни многочлена удовлетворяют неравенству
                                       | x1 |>>| x 2 |>> ... >>| x n |, (16)
то приближенные значения корней выражаются через коэффициенты многочлена
a 0 x n + a1 x n −1 + ... + a n по обобщенной теореме Виета:
                            x1 + x 2 + ... + x n = −a1 / a 0 ,
                            x x + x x + ... + x x = a / a ,
                            1 2           1 3            n −1 n         2  0

                             x1 x 2 x 3 + ... + x n − 2 x n −1 x n = −a 3 / a 0 ,       (17)
                            ............................................
                            
                             x1 x 2 ...x n = (−1) n a n / a 0.
       Из (17) с учетом (16) последовательно получаем:
                                 x 2 x3         x          a         a
                           x1 [1 +   + + ... + n ] = − 1 ⇒ x1 ≈ − 1 ;
                                 x1 x1           x1       a0         a0
                                  xx         x x          a          a
                      x1 x 2 [1 + 1 3 + ... + n −1 n ] = 2 ⇒ x 2 ≈ − 2 ;...
                                  x1 x 2      x1 x 2      a0         a1
                                     a
                           x i ≈ − i ∀x i , i = 1,2,..., n.        (18)
                                    a i −1
       Пример. x1 = 100; x 2 = −10; x 3 = 1.
                                    ( x − 100)( x + 10)( x − 1) = x 3 +
          + (−1 + 10 − 100) x 2 + (−10 + 100 − 1000) x + 1000 = x 3 − 91x 2 − 910 x + 1000.
       Применяя формулу (18), получаем x1 ≈ 91; x 2 ≈ −10; x 3 ≈ 1,1.
       Если соотношения (16) не выполняются, то необходимо выполнить предварительный этап,
называемый процессом квадрирования и суть которого состоит в следующем.
       Запишем разложение многочлена на сомножители
                        a 0 ( x − x1 )( x − x 2 )( x − x 3 )...( x − x n ). (19)
       Запишем многочлен, корни которого отличаются от корней данного многочлена знаками:
                        a 0 ( x + x1 )( x + x 2 )( x + x 3 )...( x + x n ). (20)
       Перемножим многочлены (19), (20):
                             a 02 ( x 2 − x12 )( x 2 − x 22 )( x 2 − x 32 )...( x 2 − x n2 ).
       Сделаем замену переменных x 2 = − z. Получим многочлен n-й степени, корни которого
равны корням в квадрате исходного многочлена, взятых со знаком "минус", т.е. − x i2 }. Основная  {
идея процесса квадрирования в том, что если корни различны, то разница по модулю при
квадрировании существенно возрастает.
       Выразим коэффициенты многочлена, полученного в результате квадрирования через
коэффициенты исходного многочлена. Итак, пусть задан многочлен
                        a 0 x n + a1 x n −1 + a 2 x n − 2 + ... + a n −1 x + a n. (21)
       Заменим х на -х:
                         a 0 (−1) n x n + a1 (−1) n −1 x n −1 + ... + a n −1 (−1) x + a n.
       Домножим последнее соотношение на (-1)n:
                          a 0 x n − a1 x n −1 + a 2 x n − 2 + ... + (−1) n a n .          (22)
       Перемножая (21) и (22), получаем: