Численные методы. Корнюшин П.Н. - 29 стр.

                                                       29


                         2.2.7. Метод Ньютона (метод касательных)

       Пусть функция f(x) имеет на [a,b] единственный корень, и значения f(a), f(b) –
противоположных знаков, существуют непрерывные f'(x), f''(x), которые сохраняют знак на [a,b].
Пусть некоторое значение x 0 ∈ (a, b). Заменим f(x) некоторой линейной функцией, используя
формулу Лагранжа:
                  f ( x) = f ( x 0 ) + f ' (ξ )( x − x 0 ), где x < ξ < x 0 ∨ x 0 < ξ < x.
       Поскольку значение ξ неизвестно, выберем в качестве ξ точку x0:
                              f ( x) ≈ f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )( x − x 0 ). (9)
       Исходя из последнего соотношения, интересующее нас уравнение f(x)=0 заменим
уравнением f(x0)+f'(x0)(x-x0)=0, корень которого примем за первое приближение значения корня
уравнения f(x)=0:
                                               1
                              x1 = x 0 −              f ( x 0 ).               (10)
                                           f ' ( x0 )
         Обобщая уравнение (10), получаем следующий итерационный процесс:
                                                      1
                               x n = x n −1 −                  f ( x n −1 ).   (11)
                                                f ' ( x n −1 )
         Получили частный случай итерационного процесса                x = x −ψ ( x) f ( x)  при
ψ ( x) = 1 / f ' ( x) .
         С другой стороны, уравнение (9) является уравнением касательной к кривой в точке x0. На
каждом шаге итерационного процесса функция f(x) заменяется касательной к этой функции,
проведенной в точке предыдущего приближенного значения корня. Из геометрии задачи вытекает,
что первую касательную удобно проводить с того конца сегмента, в котором выполняется условие
f ( x) f ' ' ( x) > 0.




        Теорема. Если функция f(x) имеет единственный корень на [a,b], непрерывные f'(x), f''(x),
которые не меняют знака на этом сегменте, то если начинать итерационный процесс со значения
x 0 ∈ [a, b], для которого выполняется условие f ( x 0 ) f ' ' ( x 0 ) > 0, то итерационный процесс
монотонно сходится к некоторому значению корня x*.
        Рассмотрим упрощенный метод Ньютона. Он заключается в том, что итерационный
процесс строится на основе следующей формулы:
                             x n = x n −1 + f ( x n −1 ) / f ' ( x 0 ), (12)
т.е. на каждом шаге используется одно и то же значение производной в начальной точке x0, что
упрощает вычисления, но несколько уменьшает скорость сходимости итерационного процесса.