Численные методы. Корнюшин П.Н. - 28 стр.

                                                          28


                                                                                         b−x
        Теперь ясно, что роль функции ψ (x) выполняет выражение                                     . Надо доказать,
                                                                                     f (b) − f ( x)
что      ψ (x)       –       сжимающий               оператор.   Возьмем      для    определенности
f (a) < 0, f (b) > 0, f ' ( x) > 0, f ' ' ( x) > 0. Этим знакам соответствует чертеж (рис. 2.8). Для
сходимости последовательности {x n } , значения элементов которой даются соотношением (8),
важно, что все эти значения ограничены по величине и не превосходят b. Т.к.
     b − x n −1
                      f ( x n −1 ) < 0, то последовательность {xn} по признаку Вейерштрасса имеет предел
 f (b) − f ( x n −1 )
(как монотонно возрастающая и ограниченная)               lim x
                                                           n→∞
                                                                  n   = x * . Выясним, является ли этот предел

корнем уравнения         f ( x) = 0 ? С этой целью перейдем в (8) к пределу при n → ∞ :
            b − x*                                 b − x*
x* = x* −                 f ( x *
                                  ). Поскольку                   ≠ 0, то f ( x * ) = 0, т.е. x* является
        f (b) − f ( x * )                      f (b) − f ( x * )
корнем уравнения f ( x) = 0. При других соотношениях знаков f (a ), f (b), f ' ( x), f ' ' ( x)
доказательство аналогично.
       Оценим разность между x n (приближенным значением корня) и истинным значением x * ,
полагая при этом, что f ' ( x) сохраняет постоянный знак на [a,b]. По формуле Лагранжа
                 f ( x n ) − f ( x * ) = f ' (ξ )( x n − x * ), где x n ≤ ξ ≤ x * или x n ≥ ξ ≥ x * .
        Учитывая, что f ( x * ) = 0 и полагая f ' (ξ ) ≥ m =          min | f ' ( x) |, получаем оценку
                                                                      x∈[ a , b ]

                                            | x n − x |≤ f ( x n ) / m.
                                                      *


        Формула тем точнее, чем меньше сегмент [a,b] отделения корня.




         Из геометрии задачи вытекает, что первое приближение значения корня x1 делит сегмент
[a,b] в соответствии со следующим соотношением:
                                                x1 − a | f (a ) |
                                                      =           ,
                                                b − x1 | f (b) |
в силу чего метод хорд часто называют методом пропорциональных частей. Если метод хорд
"угрубить" и делить отрезок не на пропорциональные, а на две равные части, то получим метод
нахождения корня делением сегмента пополам. При этом каждый раз после деления в качестве
рабочей части выбирается та ее половина, на границах которой f(x) имеет противоположные знаки.
Теоретическим основанием для сходимости этого метода служит лемма о вложенных интервалах.
Каждый интервал содержится в другом, и при достаточно большом числе делений их длины
стремятся к нулю. Тогда найдется только одна точка, которая принадлежит всем интервалам.